1、21圆的方程第1课时圆的标准方程学 习 任 务核 心 素 养1会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点)2会根据已知条件求圆的标准方程(重点、难点)3能准确判断点与圆的位置关系(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米请问：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？知识点1圆
2、的标准方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆平面内确定圆的要素是什么？提示圆心坐标和半径1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2表示圆()(2)若圆的标准方程是(xa)2(yb)2m2(m0)，则圆心为(a，b)，半径为m()(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2y2r2(r0)()答案(1)(2)(3)2以原点
3、为圆心、2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22Bx2y24C(x2)2(y2)28Dx2y2B以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24知识点2点与圆的位置关系(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d|PC|位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r23已知点P(1，1)在圆(x2)2y2m的内部，则实数m的取值范围是_m10由条件知(12)2(1)2m，解得m10 类型1点与圆的位置关系【例1】已知圆的圆心M是直线2x
4、y10与直线x2y20的交点，且圆过点P(5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上、在圆内、还是在圆外？思路探究先求出两直线的交点坐标，即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系解解方程组得圆心M的坐标为(0，1)，半径r|MP|5圆的标准方程为x2(y1)250|AM|r，点A在圆内|BM|r，点B在圆上|CM|r，点C在圆外圆的标准方程为x2(y1)250，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标
5、代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围跟进训练1已知圆心为点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1，0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系解因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径r5，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225因为|P1C|25，所以P3(3，4)在圆外 类型2求圆的标准方程【例2】求过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的标准方程思路探究法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立参数方程组求解；法二：利用圆心在直线
6、上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24法二：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a，2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|，解得a1圆心坐标为C(1，1)，半径长r|CA|2故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx则圆心是直
7、线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为r2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24确定圆的标准方程的方法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：设设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2；列由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解解方程组，求出a，b，r；代将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程跟进训练2已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x
8、轴上，则C的标准方程为_(x2)2y210由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y2x4，令y0，得x2，故圆心坐标为(2，0)，所以圆的半径r，故圆的方程为(x2)2y210 类型3与圆有关的最值问题探究问题1怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？提示可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值2若点M是C内一点，那么过点M的弦中，弦长最长和最短的弦分别是哪一条？提示弦长最长的弦是MC所在的直径，弦长最短的弦是过M且与MC垂直的弦【例3】已知x和y满足(x1)2y2，试求x2y2的最值1点(x，y)所在的曲线是什
9、么？提示点(x，y)所在的曲线是以(x1)2y2为方程的圆2x2y2的几何意义是什么？提示x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方解由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0，0)到圆心C(1，0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1因此x2y2的最大值和最小值分别为和1(变条件)把本例中圆的方程变为(x1)2y24，则过(0，0)的弦中，最长弦长为_，最短弦长为_42点(0，0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r4最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(
10、0，0)与圆心的距离为1，所以最短弦长为222(变结论)本例条件不变，试求的取值范围解设k，变形为k，此式表示圆上一点(x， y)与点(0， 0)连线的斜率，由k，可得ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即，解得k即的取值范围是与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x， y)和(a， b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线y x截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x， y)到定点(a， b)的距离的平方的最值问题1圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是()A(x1
11、)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D由圆过原点知r，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22，选D2两个点M(2，4)，N(2，1)与圆C：x2y22x4y40的位置关系是()A点M在圆C外，点N在圆C外B点M在圆C内，点N在圆C内C点M在圆C外，点N在圆C内D点M在圆C内，点N在圆C外D将点的坐标代入方程左边得22(4)2224(4)440，M点在圆内，(2)2122(2)41490，N点在圆外故选D3圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是_(x2)2(y4)220由可得，即圆心为(2，4)，从而r2，故圆的标准
12、方程为(x2)2(y4)2204点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_0，1)由于点在圆的内部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a15已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解如图，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4在RtAOC中，|OC|3设点C坐标为(a，0)，则|OC|a|3，a3所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225回顾本节知识，自我完成以下问题：1圆的标准方程是什么？提示圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r22如何判断点与圆的位置关系？提示(1)只需
13、计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断3代数式u、 laxby、(xa)2(yb)2的几何意义分别什么？提示 u为过点(x， y)和(a， b)的动直线斜率；形如laxby转化为动直线y x截距；(xa)2(yb)2是(x， y)到定点(a， b)的距离的平方坐标法与数学机械化笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河解析几何坐标法的形成、发展和完善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨(Leibniz，
14、16461716，微积分创始人之一)他受笛卡儿思想的启发，认为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算遗憾的是，由于当时的条件限制，计算仅仅是手工操作(手摇计算机)，无法进行大量复杂的计算，所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现20世纪以后，计算机迅速发展计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性1950年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定由于他的判定方法太复杂，在实践中没有太大的进展1959年，美籍华裔数学家王浩(19211995)在这方面作出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了9分钟就证明了数学原理(罗素和怀特
15、海著)中的350多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号吴文俊(19192017)，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，并创立了“吴方法”吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献曾获得首届国家最高科学技术奖(2000年)、首届国家自然科学一等奖(1956年)、首届求是杰出科学家奖(1994年)、邵逸夫数学奖(2006年)、国际自动推理最高奖埃尔布朗自动推理杰出成就奖(1997年)等“文华逾九章，拓扑公式彪史册
16、俊杰胜十书，机器证明誉寰球”是对他一生工作的高度概括吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的他认为，欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆排除数量关系另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关系来处理这种考虑方式就是中国的传统，早在11世纪左右就已产生，当时引进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了x，y等用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程(即x，y之间的一种方程)，即17世纪解析几何的坐标法吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的
17、，把空间形式数量化是机械化的吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程满足定理假设的几何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点要证明定理成立，就要证明假设方程的零点也使终结多项式为零”由于计算机的发展与众多数学家(特别是以吴文俊为首的一批中国数学家)的努力，大约在1976与1977年之交，几何定理机器证明的梦想终于实现了提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作进入20世纪80年代以后，吴文俊和他的同行把几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械化方面的卓越贡献