1、20202021年度第一学期第1次月考高二数学试题考试时间：120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的4个答案只有1个是正确答案）1. .在等比数列中，若，则（ ）A. 2B. 2或C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质可得，且与同号，从而可求出的值【详解】解：因为等比数列中，所以，因为，所以，所以，故选：A2. 在三角形中，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A考点：余弦定理3. 设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：依题意有，解得，所以.考点：等差数列
2、的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算4. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】直接求解一元二次不等式即可【详解】解：由，得，解得或，故选：D5. 的内角的对边分别为成等
3、比数列，且，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出【详解】解：成等比数列，又，则故选B【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6. 在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（ ）A. 3B. 9C. 27D. 81【答案】C【解析】根据等比数列的性质可得，故选C.7. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得，当时也符合，数列的通项公式为.故选C.8. 在ABC中，A60，a，b，则B等于()A 45或135B. 60C. 45D. 135【答案
4、】C【解析】【分析】根据正弦定理，直接代入即可求得结果【详解】A60，a，b，由正弦定理得：，即，解得sinBab，AB即B60，B45，故选C【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式9. 设，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 与有关【答案】A【解析】【分析】运用作差法，可得选项.【详解】因为，所以，故选：A.10. 在中，已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：A中三条边长无法构成三角形；B中由正弦定理可得，由于，因此，且两个角度都满足要求，因此符合B条件的三角形有两个；C中由于，因此，而，所以三角形中
5、有两个角为钝角，因此C中的条件不能构成三角形；而D构成的三角形为等腰直角三角形；考点：解三角形；11. 在中，已知，那么一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】因为，所以展开得，可得，结合的范围，即可求解.【详解】，所以，即，因，所以，所以，所以，所以，所以是等腰三角形，故选：B12. 在中，则的面积是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求的长度，从而可求三角形的面积.【详解】由余弦定理可得，故，解得或，故三角形的面积为或，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，注意三角形中共有
6、七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理，知道两边及一边所对的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（结合要求解的目标确定方法），本题属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 边长为2的等边的外接圆的面积_【答案】【解析】【分析】设的外接圆的半径为,由正弦定理求出三角形的外接圆的半径即得解.【详解】设的外接圆的半径为,由正弦定理得.所以外接圆的面积为.故答案为：14. 计算_.【答案】【解析】【分析】将进行分母有理化可得，所求即为数列的前项的和.【详解】,所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将进行分母有理化可得，再进行
7、求和即可.15. 等差数列前项和为，且，当 _时，最大.【答案】6或7【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质，可求得，所以，再利用二次函数的图像与性质求得当取得最大值时，的值【详解】解：因为，所以，化简得，所以，因为，所以，所以，它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为，因为，所以当或时，取得最大值，故答案为：6或716. 计算_【答案】【解析】【分析】利用乘公比错位相减法，求数列的前项和即可.【详解】，得：，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能看出所求的式子是数列的前项和，利用乘公比错位相减法即可求.三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分.
8、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 作出函数的图像，并指出函数的单调区间【答案】图象见解析，单调递减区间为(，1和(1，2；单调递增区间为(2，)【解析】【分析】时，作一次函数（可取两点，然后连线），时，作二次函数的图象，（注意顶点，对称轴，开口方向等），同时注意一次函数的射线中处实心点，二次函数抛物线弧的处空心圆圈由图象易得增减区间【详解】解：的图像如图所示，由图像可知，函数的单调递减区间为(，1和(1，2；单调递增区间为(2，)【点睛】本题考查作分段函数图象，由图象求函数的单调区间，属于基础题18. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】
9、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式；（2）求出，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）当时，；当时，也符合，数列的通项公式为.（2），.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项的特征，灵活选择求和方法.19. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足 （1）求角A的大小； （2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件使用余弦定理，即可求出；（2）先有正弦定理，得，再有余弦定理即可求出.试题解析：（1）由余弦定理得：，.（2）由
10、，得，由余弦定理得解得，.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.20. 已知数列的前项和为，且（1）设，求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式【答案】(1)见证明；(2) 1【解析】【分析】（1）通过与作差、整理可知，进而可知数列是以为首项、为公比的等比数列；（2）通过（1）可知，进而可知【详解】（1）证明：，两式相减得：，整理得：，又，又，即，数列是以为首项、为公比的等比数列；（
11、2）解：由（1）可知，【点睛】本题考查由与关系求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题21. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；（2）由平均数的公式直
12、接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可【详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：， ， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以 .22. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，由直线与平面平行的判定定理，可证得平面；（2）由底面，可得；底面为正方形，可得，由直线和平面垂直的判定定理，可得平面，由面面垂直的判定定理，可证得平面平面；【详解】证明：（1）证明：连接、，在中，是的中点，是的中点，又平面，平面平面（2）底面，底面，又，且，平面，平面平面，而平面，平面平面【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题