1、一、选择题1.已知数列an为等差数列,a2+a8=12,则a5等于().A.4B.5C.6D.7【解析】由等差数列的性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.【答案】C2.对于任意的正数a和b,设A=,G=,那么一定有().A.abAGB.abAGC.ab=AGD.abAG【解析】AG=ab,故选A.【答案】A3.数列an中,a1=1,对所有的n2都有a1a2a3an=n2,则a3等于().A.B.C.D.【解析】a2=4,a3=.故选B.【答案】B4.公差不为零的等差数列an中,有2a3-+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于().A.2B.4C.8D.16【解
2、析】因为数列an是等差数列,所以由2a3-+2a11=0得=2(a3+a11)=4a7,解得a7=4或a7=0.又因为数列bn是等比数列,且b7=a7,所以b7=4(b7=0舍去).于是b6b8=16.故选D.【答案】D5.在数列an中,an+1=,对所有正整数n都成立,且a7=,则a5等于().A.B.C.1D.【解析】a7=,a6=.又a6=,a5=1.【答案】C6.已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于().A.64B.100C.110D.120【解析】a1+a2=4,a7+a8=28,(a7+a8)-(a1+a2)=12d=28-4=24,d
3、=2,a1+a2=2a1+d=4,a1=1,S10=10a1+d=10+90=100.【答案】B7.将不等式x2-xnx(nN*)的解集中的整数的个数构成的数列记为an,则该数列的通项公式an等于().A.nB.2nC.2n-1D.n-1【解析】x2-xnx(nN*)的解集为x|0x1,a43,S39,设bn=,则使b1+b2+bn1,a43,首项a1及公差d为整数,所以可得a1=2,d=1,所以an=n+1,所以bn=-,b1+b2+bn=1-+-+-=1-=,所以使成立的最大n值为98.故选B.【答案】B二、填空题13.Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.【解析】
4、由题意知解得a5=a4+d=1+(-2)=-1.【答案】-114.一个等比数列的前5项和为10,前10项和为50,则前15项的和与前10项之和的比值为.【解析】设前n项和为Sn,则(S10-S5)2=S5(S15-S10),即(50-10)2=10(S15-50),故S15=210,故=.【答案】15.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an,已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),则该医院30天内入院治疗流感的人数为.【解析】an+2-an=1+(-1)n(nN*),n为奇数时,an+2=an,n为偶数时,an+2-an=2,
5、即数列an的奇数项为常数列,偶数项构成以2为首项,2为公差的等差数列.故这30天内入院治疗流感人数为15+(152+2)=255.【答案】25516.已知等比数列an中,a1=3,a4=81,若数列bn满足bn=log3an,则数列的前n项和Sn=.【解析】a4=a1q3,即81=3q3,q=3,an=3n,bn=log3an=n,令cn=,则cn=-,cn的前n项和Sn=c1+c2+cn=(1-)+(-)+(-)=.【答案】三、解答题17.已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求数列an的通项an;(2)求数列an前n项和Sn的最大值.【解析】(1)设an的公差为d,由已
6、知条件解出a1=3,d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2,所以n=2时,Sn取到最大值4.18.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+2n,求数列bn的前n项和Tn .【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意得解得 an=2n-1.(2)bn=+2n=4n+2n,Tn=b1+b2+bn=(4+42+4n)+2(1+2+n) =+n2+n=4n+n2+n-.19.在数列an中,a1=2,an=2an-1+2n+1(n2).(1)求证:数列是等
7、差数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)an=2an-1+2n+1(n2),an-2an-1=2n+1,两边同除以2n得-=2,是以=1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)得:=1+(n-1)2=2n-1,即an=2n(2n-1).20.已知等差数列an中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3a4,数列bn满足bn=,其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)若S2为S1,Sm(mN*)的等比中项,求正整数m的值.【解析】(1)由题意解得d.又dZ,d=2.an=1+2(n-1)=2n-1.(2)bn=(-),Sn=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.S1=,
8、S2=,Sm=.又S2为S1,Sm(mN*)的等比中项,=SmS1,即()2=,解得m=12.21.设数列an满足a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由已知,当n1时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1,即当n2时,an=22n-1.而a1=2,满足上式,所以数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1知:Sn=12+223+325+n22n-1,22Sn=123+225+327+
9、n22n+1,-得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即Sn=(3n-1)22n+1+2.22.设C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切.对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示圆Cn的半径,已知rn为递增数列.(1)证明:rn为等比数列;(2)设r1=1,求数列的前n项和.【解析】(1)将直线y=x的倾斜角记为,则有tan =,sin =.设Cn的圆心为(n,0),则=,即n=2rn.同理n+1=2rn+1.又n+1=n+rn+rn+1=2rn+1,将n=2rn代入,解得rn+1=3rn.故rn为公比q=3的等比数列.(2)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而=n31-n.记Sn=+,则有:Sn=1+23-1+33-2+n31-n,=13-1+23-2+(n-1)31-n+n3-n.-,得=1+3-1+3-2+31-n-n3-n=-n3-n=-(n+)3-n.Sn=-(n+)31-n=9-(2n+3)31-n.