1、35等差数列与 等比数列的综合问题 课 前 热 身 1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是_.2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为()A.3/8B.11/24C.13/24D.31/723.等比数列an的各项都是正数，且a2,a3/2,a1成等差数列，则(a5+a6)/(a4+a5)的值是()A.B.C.D.或215 215 251215 215 31DA4.等 比 数 列 an 中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_5.在等差数列an中，
2、若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12 的 值 为()A.20B.22C.24D.28C9 课 前 热 身 考点一:等差数列 的概念、通项公式和 前n项和公式.na 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.2.通项公式等差 an=a1+(n-1)d3.前项和公式Sn=a1+a2+a3+an=2)(1naandnnna2)1(1【典型例题1】设数列an的前项和为Sn=n2+2n+4(nN)(1)写出a1，a2，a3；(2)证明:数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4,是等差数列.评:由于a2-a1=5
3、-7=-2,an+1-an=-2故不对任意成立，数列an不是等差数列.【同类变式】设数列un是公差不为0的等差数列,u11=u51,u20=22,设数列un的前项和为Sn，un 的前项和为Tn.(1)求u31的值;(2)求Tn的表达式.2611860nnTn考点二：等差数列的性质：1.等差中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项A(a+b)/2 m+n=p+q2.am+anap+aq(等差数列)3.等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等差数列.4.若kn成等差数列,则akn成等差数列.【典型例题2】在等差数列中，Sn表
4、示an的前项和.(1)a3+a17=10,求S19的值；(2)a1+a2+a3+a4=100,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=224,求项数n;(3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.【同类变式】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.d=5，SSSS2732354奇偶偶奇，SS162192奇偶由S偶-S奇=6d,考点三：求Sn的最大（小）值(1)在等差数列an中，a10,d0，则Sn有最大值，若a10，则Sn有最小值.(2)求Sn的最值的几种方法:由转化为二次函数求最值;利用则Sn为最大.ndands
5、n)2(212,001nnaa【典型例题3】在等差数列an中(1)若a10,S4=S9,求Sn取最大值时,n的值;(2)a1=15,S4=S12,求Sn的最大值.【同类变式】若数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为,若an中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论.解析：3a5=8a120,3a5=8(a5+7d),解得a5=0,d0,a17a2a3a16 0 a17 a18而 b15=a15a16a17 0.S14S13S1,S14S15,S150,a18=0,d56d59a15 0 18a1615bb S16S14,故
6、Sn中S16最大.评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组 ，探讨 中的正负关系。nb001nnaa 若数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN+),bn的前项和为Sn,若an中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论b1b2b3b14 0 b17 b18考点四:等比数列 的概念、通项公式和前n项和公式.na 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.2.通项公式an=a1 qn-13.前项和公式Sn=a1+a2+a3+an=)1(,11)1()1(,111qqqaaqqaq
7、nann【典型例题4】数列an与bn的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项由小到大排成的数列是cn.(1)写出cn前5项；(2)证明cn是等比数列.【同类变式】（1）已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-tcn为等比数列，求常数t;(2)设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是数列中的基本问题之一。提示（1）(2-t)(3-t)2n3n=0 p=2或p=3.（2）为证cn不是等比数列只需证c22c1c3考点五：等比数列的性质：1.等比中项 如果在a、b中间插入一个数
8、G，使a、G、b成等差数列，则G 叫a、b的等差中项G2ab m+n=p+q2.amanapaq(等比数列)4.等差比列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n成等比数列.5.若kn成等差数列,则 成等比数列.nka3.a1an=a2an-1=akan-k+1=若an0,a1a2 an=21)(nnaa 6.重要性质：m+n=p+qam+anap+aq(等差数列)amanapaq(等比数列)(m、n、p、qN*)特别地 m+n=2pam+an2ap(等差数列)amana2p(等比数列)知识要点【典型例题5】在等比数列an中,Sn表示前n项和.(1)a1+an=66,a2an
9、-1=128,Sn=126,求n和公比q;(2)Sn=2,S2n=12,求S3n.【同类变式】在1/n和n+1之间插入n个正数,使这n+2个数依次成等比数列,求所插入的n个数之积.解：设这n个数为x1，x2，x3，xn，且公比为q，则有111nqnn=2)1(1nnn qn=2)1(1nnnnn=2)1(nnn qn+1=n(n+1),xk=qk n (k=1,2,3,n)x1 x2x3xn=(qq2q3qn)nn【典型例题6】设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是 第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0
10、.3,lg3=0.4)解法一：设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有)(9)()(1)1(41)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqamm化简得10831),1(9114121aqqqaqq解得设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg321=()n2+(2lg2+lg3)n.23lg27可见，当n=，时3lg3lg272lg2Sn最大.4.024.073.043lg3lg272lg2而=5.5,故lgan的前5项和最大.设等比数列an的各项
11、均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法二：接前，311081qa于是lgan=lg108()n131=lg108+(n1)lg 31数列lgan是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数列，31令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n4.04.043.023lg3lg42lg2=5.5 .由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大.1.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于()C.2D.2 32B.32A.3231510 SSlimnB
12、 2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0,S13a2a3a12a13 ,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：5.(1)解：依题意有：0212131302111212,12211311213daSdaSdaaak0且ak+10,0)2(0)3(33dkadka即a3=12,122123dkddkd d 0,2 k3 d12d12d3 ,4,得5.5k7.解之得公差d的取值范围为 d3.72472427d12因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自 然数k,
13、使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,132a70,a7+a6=a1+a12=S120,61a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221nnddndnnnaSn222)245(21,0,)245(8)245(212dnddddnd最小时，Sn最大；d3,6 (5 )6.5.72421d24从而，在正整数中，当n=6时，n(5)2最小，所以S6最大.21d24点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解
14、属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.已知数列an为等差数列，公差d0,由an中的部分项组成的数列a,a,a,为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列bn的通项公式；(2)记Tn=C b1+C b2+C b3+C bn,求1n2n3nnnnn
15、nnbT 4lim解：(1)由题意知a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d 2,d0,a1=2d,数列 的公比q=3 1115a4daaanba =a13n1 nba又 =a1+(bn1)d=1na21b nba由得a13n1=a1.21bn a1=2d0,bn=23n11.(2)Tn=C b1+C b2+C bn nnn2n1=C (2301)+C (2311)+C (23n11)n1n2nn=(C +C 32+C 3n)(C +C +C )n1n2nnn1n2nn=(1+3)n1(2n1)32=4n2n+,32311324312432lim4lim1 nn
16、nnnnnnnbT.32)41()43(211)41(31)21(32lim1nnnnn7(2006北大附中中学内部试卷)设ak 为等差数列，公差为d，ak0，k1，2，2n1(1)证明a a2n1a2n1；(2)记bk ，试证 lg b1lg b2lg bn lg a2n1 lg a1 n22122kkaa2121(1)证明：a a2n1a2n1n22a1(2n1)d2a1(2n2)da12nda12(4n2)a1d(2n1)2d2a12(4n2)a1d(4n24n)d2 d 2 0 (d 0)a a2n1a2n1 (5分)n22(2)由(1)知 12222nnaa1212nnaa,131222aaaa,353242aaaa,575262 aaaa121212222nnnnaaaa()2()2()2()2()()()12aa34aa56aa122nnaa13aa35aa57aa1212nnaa112aa n即 b b b b (11分)122232n2112aa nlg b1lg b2lg bn lg a2n1 lg a1 (12分)2121