1、2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1已知集合A（x，y）|y，x，yN，则集合A中元素的个数为（）A3B4C5D62已知复数，则它的共轭复数等于（）A2iB2+iC2+iD2i3已知向量（2，3），（1，），若向量2与向量共线，则|（）ABCD4已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（）A4，s22B4，s22C4，s22D4，s225已知等比数列an中，a2+a430，a1a39，则公比q（）A9或11B3或11C3或D3或36已知为第二象限角，且tan（），则co
2、s（）（）ABCD7设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，若OAOB，|OA|OB|，则抛物线C的准线方程为（）AxBxCx1Dx28已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y40的距离最大时，a（）A1BCD9某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉现环保局要求其整改，降低声强已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L10lg（aI）已知I1013W/m2时，L10dB若整改后的施工噪音的声强为原声强的102，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A50dBB
3、40dBC30dBD20dB10给出下列命题：ln2，ln2，log23log58，其中真命题为（）ABCD11如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A1B2CD12已知函数f（x）sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（）2是f（x）的周期；f（x）是偶函数；f（x）的图象关于直线x对称；f（x）的最小值是A1个B2个C3个D4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知命题p：x1，2，x2ax30，若p为真命题，则a的取值范围为 .（结果用区间表示）14已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，则双曲线的离心率
4、为 15某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为 万元16已知在三棱锥PABC中，BAC90，ABAC4，APC30，平面PAC平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC（1）求角B；（2）若ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求ABC的面积18某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8现在医务室通过血检进行一种流行疾病
5、的检查（1）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（2）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验已知每组化验结果呈阴性的概率都为，记Bi（i1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阴性”，i（i1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率19已知四边形ABCD，ABAD2，BAD60，BCD30现将ABD沿BD边折起，使得平面ABD平面BCD，ADCD点P在线
6、段AD上，平面BPC将三棱锥ABCD分成两部分，VABPC：VABCD1：2（1）求证：BP平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离20已知F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由21已知函数f（x）exkx2，其中k为实数，e为自然对数的底数（1）若k，证明：当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）当x0时，f（x）2x+1sinx恒成
7、立，求k的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）1（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）已知点M的直角坐标为（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|+|MB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a21|+|x6|（1）当a0时，解不等式f（x）12；（2）记集合Mx|f（x）2b0，若存在aR使M，求实数b的取值范围参考答案一、选择题：本题共12
8、小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A（x，y）|y，x，yN，则集合A中元素的个数为（）A3B4C5D6解：由已知可得满足条件的点有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）共4个点，所以集合A中的元素共有4个，故选：B2已知复数，则它的共轭复数等于（）A2iB2+iC2+iD2i解：复数 z所以它的共轭复数 2+i故选：B3已知向量（2，3），（1，），若向量2与向量共线，则|（）ABCD解：根据题意，向量（2，3），（1，），则2（4，32），又由向量2与向量共线，则有2（32）340，解可得：，则（1，），则有|，故选：B4已知样本数据为
9、x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（）A4，s22B4，s22C4，s22D4，s22解：因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，方差为2，所以当加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2故选：B5已知等比数列an中，a2+a430，a1a39，则公比q（）A9或11B3或11C3或D3或3解：由a2+a430，a1a39，可得，解得q3，故选：D6已知为第二象限角，且tan（），则cos（）（）ABCD解：为第二象限角，且tan（），tan，即，又sin2+cos21，sin，cos，cos（）（cos+s
10、in）（+）故选：A7设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，若OAOB，|OA|OB|，则抛物线C的准线方程为（）AxBxCx1Dx2解：因为三角形AOB为等腰直角三角形，所以直线l的方程为：x1，根据抛物线的对称性可以确定AOxBOx，所以A（1，1），代入抛物线方程可得12p，即p，所以抛物线的准线方程为：x故选：A8已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y40的距离最大时，a（）A1BCD解：因为直线2ax+y40恒过定点A（0，4），故当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线的斜率为2，所以直线2ax+y4
11、0的斜率为，故故选：B9某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉现环保局要求其整改，降低声强已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L10lg（aI）已知I1013W/m2时，L10dB若整改后的施工噪音的声强为原声强的102，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A50dBB40dBC30dBD20dB解：由题意可知，L10lg（aI），当I1013W/m2时，L10dB，有1010lga1013，解得a1012，故有L10lg1012I，当变为原声强的102时，I1011W/m2，有L10lg10121011
12、，可得I10dB，由此可知降低了10dB（10dB）20dB，故选：D10给出下列命题：ln2，ln2，log23log58，其中真命题为（）ABCD解：对于，即ln2，故正确；对于，由，转换为，设f（x），则，令f（x）0，解得xe，当x（0，e）时，函数f（x）0，当x（e，+）时，f（x）0，故函数f（x）在（0，e）上单调递增，故，即，故错误；对于，log23log58，转换为，由于，故，所以即对于，由于，故，所以，所以，故log23log58，故正确故选：C11如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A1B2CD解：由题意几何体是四棱锥PABCD，过P作PEAD于E，在正方体中有
13、CD平面PAD，所以CDPE，又因为ADCDD，所以PE平面ABCD，所以四棱锥的高为PE，由三视图可知，PE22，解得PE所以该四棱锥的高为：故选：D12已知函数f（x）sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（）2是f（x）的周期；f（x）是偶函数；f（x）的图象关于直线x对称；f（x）的最小值是A1个B2个C3个D4个解：函数f（x）sinx+cosxsinx，对于，函数f（x+2）sin（x+2）+cos（x+2）sin（x+2）f（x），所以2是f（x）的周期，故正确；对于，函数f（x）sin（x）+cos（x）sin（x）f（x），故函数f（x）不是
14、偶函数，故错误；对于，f（x）sin（x）+cos（x）sin（x）f（x），故函数f（x）的图象不关于直线x对称，故错误；由于f（x）sinx+cosxsinx，所以f（x）cosx+cos2xsin2x2cos2x+cosx1，令f（x）0，解得，当cosx时，即sinx，f（x）的最小值是，故正确故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13已知命题p：x1，2，x2ax30，若p为真命题，则a的取值范围为）.（结果用区间表示）解：命题p：x1，2，x2ax30，即x对于x1，2上恒成立，即f（x）x，根据函数的性质函数f（x）在定义域内单调递增，故，故a的取值范围为，+）故答案为：
15、，+）14已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为解：双曲线1（a0，b0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，可得双曲线的渐近线的倾斜角为：，斜率为：，所以，e故答案为：15某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为26万元解：设生产A产品x件，B产品y件，总利润为z，则，目标函数z5x+y，作出可行域如图：由，解得，即A（4，6），结合图形可知，当直线y5x+z过A（4，6）时，z有最大值为：54
16、+626故答案为：2616已知在三棱锥PABC中，BAC90，ABAC4，APC30，平面PAC平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为80解：由题意可知，P点在圆周上运动，则PAC的外接圆的半径为r，2r8，解得r4，如图，因为平面PAC平面ABC，BAC90，ABAC4，所以ABC的外接圆的圆心是BC的中点，几何体的外接球的球心是ABC外心的中垂线与圆PAC的圆心的中垂线的交点O，由题意可得R，所以三棱锥PABC外接球的表面积为：4R280故答案为：80三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC（1）求角B；
17、（2）若ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求ABC的面积解：（1）由cosC，可得2bcosC2ac，由正弦定理可得2sinBcosC2sinAsinC，即2sinBcosC2sin（B+C）sinC，可得sinC2sinCcosB，又sinC0，所以cosB，因为B为三角形内角，所以B（2）由正弦定理可得2，可得b3，设D为AC边上的中点，则AD，BD，2+，两边平方，可得422+2+2，即17c2+a2+ac，由余弦定理可得b2a2+c22accosB，即9a2+c2ac，两式相减可得82ac，即ac4，所以SABCacsinB18某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24
18、，16，8现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查（1）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（2）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验已知每组化验结果呈阴性的概率都为，记Bi（i1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阴性”，i（i1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1，由于采用分层抽样
19、的方法从中抽取6人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人，该企业总共有24+16+848名员工，记事件A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，每位员工被 抽到的概率为P（2）记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B，所有分组化验的结果有16种，分别为：（B1，B2，B3，B4），（），（），（），（），（，B3，B4），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有6种，分别为：（，B3，B4），（），（），（），（），（），每组化验结果呈阴性与阳性互为对立，每组化验呈阳性的概率都为
20、，则上述每个结果出现的可能性都相等，恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为P（B）19已知四边形ABCD，ABAD2，BAD60，BCD30现将ABD沿BD边折起，使得平面ABD平面BCD，ADCD点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥ABCD分成两部分，VABPC：VABCD1：2（1）求证：BP平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离【解答】（1）证明：因为ABAD，BAD60，所以ABD为等边三角形，因为VABPC：VABCD1：2，VABPCVDBPC，设点A到平面BPC的距离为hA，点D到平面BPC的距离为hD，所以，所以hAhD，即，所以P为AD的中点，所以BPAD，
21、取BD的中点E，连结AE，则AEBD，又因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，且AE平面ABD，所以AE平面BCD，因为CD平面BCD，所以AECD，又CDAD，AEAEA，AE，AEABD，所以CD平面ABD，因为BP平面ABD，所以CDBP，又因为ADCDD，AD，CD平面ACD，所以BP平面ACD；（2）解：因为E为BD的中点，正三角形ABD的边长为2，所以，由（1）可知AE平面BCD，又因为P为AD的中点，所以点P到平面BCD的距离为，连结BM，由（1）可知，CDBD，BCD30，所以CD，BC4，BP，所以，由（1）可知，BP平面ACD，CP平面ACD，所以BPCP，所
22、以，设点M到平面BPC的距离为d，则由等体积法可得，VMBCPVPBCM，所以，故，故点M到平面BPC的距离为20已知F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由解：（1）由题意可知，解得，椭圆C的方程为：（2）由题意知，当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN的方程为y0，当直线l1，l2斜率都存在时，设l1：xmy2（m0
23、），设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，化简可得（m2+3）y24my20，且0，所以，y1y2，则x1+x2m（y1+y2）4，M（，），同理由可得N（，），则kMN，所以直线MN的方程为y，化简得：y，此时直线MN过定点（，0），易知当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，直线MN的方程为y0，亦过点（，0），综上所述，直线MN恒过定点（，0）21已知函数f（x）exkx2，其中k为实数，e为自然对数的底数（1）若k，证明：当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）当x0时，f（x）2x+1sinx恒成立，求k的取值范围解：（1）证明：当k时，设g（x）exx2x1（x0），g（
24、x）exx1，（1分）则g（x）ex10，故g（x）在0，+）上单调递增故当x0时，g（x）g（0）0，故g（x）在0，+）上单调递增，故当x0时，g（x）g（0）0，故当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）设h（x）exkx22x1+sinx（x0），则h（x）min0，注意到h（0）0，则h（x）ex2kx2+cosx（x0），则h（0）0h（x）ex2ksinx，h（0）12k，h（x）excosx0，则h（x）在0，+）上单调递增，当k时，h（0）12k0，由于h（x）在0，+）上单调递增，则当x0时，h（x）h（0）0，则h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）h（0）0，则h（x）
25、在0，+）上单调递增，故h（x）h（0）0，符合题意；当k时，h（0）12k0，利用（1）中已证结论可得由于h（x）在0，+）上单调递增，h（1+2k）e1+2k2ksin（1+2k）1+（1+2k）2k10，故必然存在x0（0，1+2k），使得x（0，x0）时，h（0）0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，故当x（0，x0）时，h（x）h（0）0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，则当x（0，x0）时，h（x）h（0）0，不符合题意；综上，k的取值范围为（，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线
26、C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）1（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）已知点M的直角坐标为（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|+|MB|的值解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），整理得x2+y22直线l的极坐标方程为cos（）1，根据，整理得xy+10所以直线的倾斜角为（2）把直线的方程转换为参数方程（t为参数），代入x2+y22，得到：，整理得，t1t21，所以|MA|+|MB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a21|+|x6|（1）当a0时，解不等式f（x）12；（2）记集合Mx|f（x）2b0，若存在aR使M，求实数b的取值范围解：（1）a0时，f（x）12即|x1|+|x6|12，当x1时，1x+6x12，解得：x，当1x6时，x1+6x12，则512，无解，当x6时，x1+x612，解得：x，故不等式f（x）12的解集是x|x或x；（2）f（x）|x+a21|+|x6|x+a21（x6）|a2+5|，当且仅当（x+a21）（x6）0时取“”，则可知f（x）mina2+5，即f（x）的值域是a2+5，+），存在aR，使得M，故2b（a2+5）min5，则b，故实数b的取值范围是，+）
