1、第3课时空间几何体的直观图1.学会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.学会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.3.初步学会根据空间几何体的三视图画出空间几何体的直观图.重点:掌握斜二测画法画水平放置的平面图形、空间几何体的直观图.难点:根据空间图形的直观图还原出原图形. 清明上河图为北宋画家张择端所作,该画描绘北宋京城汴梁及汴河两岸的繁华、热闹的景象和优美的自然风光.作品以长卷形式,采用散点透视的构图法,将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画卷中,画卷有814人,牲畜60多头,船只28艘,房屋楼宇30多栋,车20辆,轿8顶,树木170多棵,往来衣着不同,神情各异,栩栩如
2、生,其间还穿插各种活动,注重情节,构图疏密有致,富有节奏感和韵律的变化,笔墨章法都很巧妙,颇见功底.问题1:张择端通过画笔把北宋汴河两岸的繁华和热闹的景象呈现在纸上,从数学角度来看,就是把空间图形通过平面图形来呈现,像这种表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图.问题2:用斜二测画法画空间几何体的直观图,通常要建立三条轴:x轴,y轴和z轴.对它们的位置和角度有什么规定?画直观图时,三个方向上线段长度如何规定?这三条轴相交于O,且xOy=45(或135),xOz=90.与x轴平行的线段,在直观图中长度保持不变,与y轴平行的线段,在直观图中长度为原来的一半,平行于z轴的线段,在直观图中也要保持长
3、度不变.问题3:三视图与直观图有何联系与区别?空间几何体的三视图与直观图有密切联系.由于三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,因此得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸).直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构可以想象实物的结构.工程上一般采用正投影法绘制物体的投影图,即多面正投影图.它能完整而准确地反映物体的形状和大小,且度量性好,作图简单,但立体感不强,只有具备一定读图能力的人才看得懂.有时工程上还需采用一种立体感较强的图来表达物体,即轴测图.轴测图是用轴测投影的方法画出来的富有立体感的图形,它接近人们的视觉习惯,但不能确切地反映物体真实的形状和
4、大小,并且作图较正投影复杂,因而在生产中它作为辅助图样,用来帮助人们读懂正投影视图.1.下面关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是().A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆【解析】对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该熟记它们的大致形状,以便在选择题中快速作出判断.【答案】B2.利用斜二测画法画正方形的直观图,其中正确的是().【解析】(1)锐角45,排除A,B;(2)短边是长边的,排除D,故选C.【答案】C3.在用斜二测画法画水平放置
5、的ABC时,若A的两边平行于x轴与y轴且A=90,则在直观图中,A=.【答案】45或1354.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox、Oy、Oz画成对应的Ox、Oy、Oz,使xOy=,xOz=.【解析】根据斜二测画法规则可知xOy=45,xOz=90.【答案】4590平面图形直观图的面积如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CDAB,CD=AO=1,AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【方法指导】先根据斜二测画法画出直观图,再求直观图的面积.【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的
6、长度都不变,如图所示.在直观图中,OD=OD,梯形的高DE=,于是,梯形ABCD的面积S=(1+2)=.【小结】对于几何体的直观图,一方面,要掌握斜二测画法的规则,注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征;另一方面,若能了解原图形面积S与其直观图面积S直之间的关系:S直=S原,S原=2S直还可以简化有关问题的计算.(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变成原来的2倍.空间几何体的直观图已知某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.【方法指导】由三视图可知,该几何体是一个简单的组合体:它的下部是一个上、下
7、底面均为正方形的四棱台,上部是一个四棱锥,该题的实质就是考查空间几何体的直观图的画法.【解析】(1)画轴.如图画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90.(2)画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取一点O,使OO等于三视图中相应的高度,过O作Ox的平行线Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出面ABCD.(3)画四棱锥的顶点.在Oz上取点P,使PO等于三视图中相应的高.(4)成图.连接PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,并擦去辅助线,即得到题中三视图所表示的几何体的直观图.【小结】解决本类问题首先要根据三视图正确得出几何体的结构,几何体的结构不清易导致错误.平
8、面图形的直观图画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC=AD=2,OD=3,OB=4,OCOB,ADOB).【方法指导】先以CO、BO建立坐标系,再将所有点放在坐标轴上或者与坐标轴平行的直线上,然后利用斜二测画法画出直观图.【解析】以O为原点,OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy,如图(1).作COB=45,其中OB是水平的,OB=4,OD=3,OC=1,过D作BDA=90,使AD=1,顺次连接OA,AB,BC,所得四边形OABC即为四边形OABC的直观图,如图(2).问题 四边形ABCO中的AD在直观图中画对了吗?结论坐标轴上的点O,B,C画得正确,点A的直观位置画错了,在直观图中
9、BDA不再是90,而是45或135.于是,正确解答如下:如图所示,作COB=45,其中OB是水平的,OB=4,OD=3,OC=1,过点D作BDA=135,使AD=1,顺次连接OA,AB,BC,所得四边形即为四边形OABC的直观图.【小结】直观图与实际图形比较,某些量(如长度、角度、面积等)在视觉上可能有些改变,但必须认为它们仍是原图中的那些量,同时,如两线间的平行关系、两三角形的全等、相似关系、线段的中点位置等在直观图中仍保持不变,解题时不能被直观图所迷惑.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形,那么原ABC的面积为().A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】如图,作出直观图中的坐
10、标系xOy,使BC在x轴上,点A在y轴上,转移到原图中,则有BC=BC=a.OA=2OA=2a=a,SABC=BCOA=aa=a2.故选C.【答案】C如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.【解析】由几何体的三视图可知,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆台,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆台的上底面重合.画直观图时,我们可以先画出下部的圆台,再画出上部的圆锥.画法: (1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45.(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面圆O,在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应的高度,过O作Ox的平行线Ox,Oy的平行线Oy,利用
11、Ox与Oy画出上底面圆O(与画圆O一样).(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA,PB,AA,BB,整理得到三视图所表示的几何体的直观图,如图.如图所示,梯形ABCD中,ABCD,AB=4 cm,CD=2 cm,DAB=30,AD=3 cm,试画出它的直观图.【解析】(1)如图a所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图b所示,画出对应的x轴,y轴,使xOy=45.(2)在图a中,过D点作DEx轴,垂足为E.在图b中,在x轴上取AB=AB=4 cm,AE=AE=2.598 cm;过点E作EDy轴
12、,使ED=ED=0.75 cm,再过点D作DCx轴,且使DC=DC=2 cm.(3)连接AD、BC,并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线,如图c所示,则四边形ABCD就是所求的直观图.1.如图中的斜二测直观图所示的平面图形是().A.直角梯形 B.等腰梯形C.不可能是梯形 D.平行四边形【解析】根据直观图可判断原图形ABBC,ADBC.故选A.【答案】A2.利用斜二测画法得到:三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形;菱形的直观图是菱形.以上结论中正确的是().A.B.C.D.【解析】由斜二测画法知平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半,平行线在直
13、观图中的平行性不变,因此三角形的直观图仍是三角形,平行四边形的直观图仍是平行四边形.由于正方形、菱形中不平行于x轴的边在直观图中长度要改变,因此直观图不可能仍是正方形和菱形.【答案】A3.在用斜二测画法作直观图时,原图中平行且相等的线段,在直观图中对应的两条线段.【解析】由斜二测画法法则可知.【答案】平行且相等4.画水平放置的正ABC的直观图.【解析】(1)在已知的正ABC中,设AB所在的直线为x轴,取线段AB的中点O为坐标原点,如图.(2)画对应的x轴、y轴,使xOy=45,如图,并在x轴上截取OA=OA,OB=OB,在y上截取OC=OC.(3)连接AC,BC,并擦去辅助线,所得的ABC就是正ABC的直观图,如图.(2011年浙江卷)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是().【解析】A中正(主)视图,俯视图不对,故A错;B中正(主)视图,侧(左)视图不对,故B错;C中侧(左)视图,俯视图不对,故C错,故选D.【答案】D