1、2.3平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题教材整理平均值不等式1(平均值不等式)设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.(推论1)设a1，a2，an为n个正数，且a1a2an1，则a1a2ann，且等号成立a1a2an1.当n3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小(推论2)设C为常数，且a1，a2，an为n个正数，则当a1a2annC时，a1a2anCn，且等号成立a1a2an.当n3时，这个定理的一个几何解
2、释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积2任意给定n个正数，先求它们倒数的平均，然后再作这个平均值的倒数，称其为a1，a2，an的调和平均(定理2)设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.3(定理3)设a1，a2，an为正数，则，等号成立a1a2an.(推论3)设a1，a2，an为n个正数，则(a1a2an)n2.1设x，y，z为正数，且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()A(，lg 6B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析x，y，z为正数，xyz23.lg xlg ylg zlg xyzlg 233lg 2，当且仅当xyz2时，等号成
3、立答案B2若a，b，c，d为正数，则的最小值为_.解析由平均值不等式可得，4 4，当且仅当abcd时，等号成立答案4利用平均值不等式求最值【例1】求函数y(x217)的最大值精彩点拨根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值自主解答根据平均值不等式(79x2)3 3，即y2623.当且仅当79x2，即x2时等号成立这时ymax.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件1已知x，y，z且xyz3，求y的最大值解.xyz3，3，3.故ymax3.利用平均值不等式证明不等式【例2】若x0，求证：.精彩点拨由于不等式右边为 ，故将左边拆项，利用不等式证明自主解答1即原
4、不等式成立在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立2设a，b，c为正数，求证：(abc).证明(ab)(bc)(ca)3，3 ，(ab)(bc)(ca)33 ，即2(abc)9，(abc).平均值不等式的类型与应用条件探究问题试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系提示在课本中已讲过n个正数a1，a2，an的算术平均和几何平均分别是An和Gn.此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)Hn.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Qn.这四个平均值有以下关系：HnGn
5、AnQn.其中等号成立的充要条件都是a1a2an.【例3】设x1，x2，x3为正数，证明：.精彩点拨不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形自主解答1，1，1，1.上述不等式中，当且仅当x1x2x3时取“”号得13333，.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如可变为1.3已知a，b，c为正整数，且bca，cab，abc.求证：1.证明1.即原不等式成立1设a1，a2，an为正数，P，Q，则P，Q间的大小关系为()APQBPQCP0时，y3x的最小值为()AB3C D4解析y3x3 3 .当且仅当x，即x时，等号成立答案A4已知x，y，z为正数，且2x3y5z6，则xyz的最大值为_解析x，y，z为正数，xyz2x3y5z.当且仅当2x3y5z，即x1，y，z时等号成立答案5证明：设n为正整数，则n(n1)11.证明原不等式等价于：(n1)(n1)，原不等式成立
