1、课时作业43立体几何中的向量方法(一)一、选择题(每小题5分，共40分)1若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确答案：B2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.答案：D3设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.
2、B.C. D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2，2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.答案：D4(2014珠海模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案：B5平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，
3、C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A(，1，1) B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析：设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.答案：D6(2012全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B.C. D1解析：连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OHAC1于点H，因为AB2，所以AC2，又CC12，所以OHsin451.答案：D7已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD
4、1，则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1解析：，|2|2|2|2，AB2，ACBD1，|24，|2|21，|22.在RtBDC中，BC.直二面角l中，ACl，AC，平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.故选C.答案：C8(2014新乡模拟，4)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
5、C1(0,1,1)，O，设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，则，令z1，得，n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或10在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离
6、PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为(，)PHa.点P到平面ABC的距离为a.答案：a11(2014江苏徐州一模，8)将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_解析：设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连结A1E、CE.BDCE，BDA1E.A1EC为二面角A1BDC的平面角A1EC60.又A1ECE，A1EC是等边三角形A1ECEA1Ca.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案：a三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12.如图所示，已知正方形A
7、BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，0)、(0，0,1)(，1)又点A、M的坐标分别是(，0)、(，1)，(，1)且NE与AM不重合NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.13在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB、PB的中点(1
8、)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解：(1)证明：如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、P(0,0，a)、F(，).(，0，)，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解：设G(x,0，z)，则(x，z)，若使GF平面PCB，则由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)2a(z)0，得z0.G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点14(2012湖南)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABC
9、D，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解：如图(1)，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即|.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故|.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.