1、启用并使用完毕前2021年高中三年级学情诊断考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2命题，成立的一个充分不必要条件是（ ）ABCD3已知函数在
2、定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）A3B1C0D4已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50 B0 C2 D505若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD6已知，则，的大小关系为（ ）ABCD7牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55经测量室温为25，茶水降至75大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待
3、（ ）（参考数据：，）A4分钟B5分钟C6分钟D7分钟8已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为A或B1或C或2D或1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知，则（ ）A的最小值为25B的最小值为C的最小值为D的最小值为10下列命题为真命题的是（ ）A函数在区间上的值域是B当时，使成立C幂函数的图象都过点D“”是“”的必要不充分条件11定义在R上的可导函数yf（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A3是f（x）的一个极小值点B2和1都是f
4、（x）的极大值点Cf（x）的单调递增区间是（3，+）Df（x）的单调递减区间是（，3）12对于函数，若存在，使，则称，是函数与的图象的一对“关于轴的隐对称点”已知函数满足：的图象关于直线对称；当时，函数（其中且），若函数与恰有7对“关于轴的隐对称点”，则实数的值可以为（ ）ABCD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若命题“”是真命题，则实数的取值范围是_14已知函数的导函数为，且（其中e为自然对数的底数），则_15若函数f（x）（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为 16已知函数（a0且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取
5、值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数的定义域是集合，函数的定义域是集合（1）分别求集合、；（2）若，求实数的取值范围18（12分）已知函数在时的最小值为（1）求；（2）若函数的定义域为，求的取值范围19（12分）已知函数是定义域在上的奇函数（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围20（12分）已知函数，且.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集.21（12分）已知二次函数满足（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围2
6、2（12分）已知函数f (x)xexa(x1)2.(1)若ae，求函数f (x)的极值；(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案1D，所以，故选：D.2D命题，成立，即，成立，则.又可以推出，反之，推不出，所以是命题成立的一个充分不必要条件，故选：D.3A根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，则为常数，设，则，则有，解可得，则，故；故选：A.4C解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3
7、）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C5B解：令，则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，故在区间上，（4），若不等式在区间内有解，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B6A，又，.故选：A7C根据题意，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C8A解：已知，且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，+得：，由于关于对称
8、，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点，则必有，即：，解得：或.故选：A.9AD对于A，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，当时（此时）取得最小值，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为，故C错误；对于D，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选:AD10BCDA因为函数在区间上递增，所以函数在区间上的值域是，故错误；B. 当时，所以，使成立，故正确；C.因为，所以幂函数的图象都过点，故正确；D. 不等式的解集是 ，又，所以必要不充分，故正确；故选：BCD11.ACD解：当x（，3）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（
9、3，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，3是f（x）的极小值点，故选项A正确；由图可知，当x（3，+）时，f（x）0，f（x）的递增区间为（3，+），故C正确；由图可知，当x（，3）时，f（x）0，f（x）的递减区间为（，3），故D正确；又f（x）在x2和x1两侧同号，2，1不是f（x）的极值点，故B错误；故选：ACD12BC解析：因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，且，即的周期为2，又因为当时，函数（其中且），显然，故作出函数与函数的图象：则由图可知，即，故，结合选项知B、C符合，故选：BC.13解析：由命题“”是真命题，可知，的最小
10、值是2，所以，即实数的取值范围是.故答案为：14-2解析：因，则两边求导得：，取得：，解得，所以.故答案为：-215-1解析：函数f（x）为奇函数，故f（x）f（x）恒成立，故即，f（x），f（a+b）f（1）121，故答案为：116解析：因为函数（a0且a1）在R上单调递减，作出的图像如图所示：若恰有两个不相等的实数解，则点应当位于点的上方，即，所以.故答案为：.17（1）由，解得：或，故或；由，得，解得：或，故或（2）由得，因此，解得，所以实数的取值范围是，18解：（1），当且仅当，即时等号成立，；（2）由（1）可知的定义域为，不等式的解集为，时，恒成立，满足题意；时，解得，综上得，的取值
11、范围为，19(1)因为是定义域在R上的奇函数，有，所以，所以所以，所以所以，在R上为减函数；(2)不等式等价于，又在R上为减函数，所以即对恒成立，所以，即实数k的取值范围为20（1）因为，所以，解得，的定义域为.（2）的定义域为，故是奇函数.（3）因为当时，是增函数，是减函数，所以当时在定义域内是增函数，即，解得，故使的的解集为.21（1）设，则 解之得：（2）根据题意：解之得：的取值范围为22(1)直接法(学生用书不提供解题过程)由题意知，当ae时，f (x)xexe(x1)2，函数f (x)的定义域为(，)，f (x)(x1)exe(x1)(x1)(exe)令f (x)0，解得x1或x1.
12、当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表所示：x(，1)1(1,1)1(1，)f (x)00f (x)极大值极小值e所以当x1时，f (x)取得极大值；当x1时，f (x)取得极小值e.(2)法一：分类讨论法(学生用书不提供解题过程)f (x)(x1)exa(x1)(x1)(exa)，若a0，易知函数f (x)在(，)上只有一个零点，故不符合题意若a0，当x(，1)时，f (x)0，f (x)单调递增由f (1)0，当x时，f (x)，所以函数f (x)在(，)上有两个零点若ln a1，即0a0，f (x)单调递增；当x(ln a，1)时，f (x)0，f (x)单调递减又f (ln
13、 a)aln aa(ln a1)21，即a，当x(，1)(ln a，)时，f (x)0，f (x)单调递增；当x(1，ln a)时，f (x)0，f (x)单调递减又f (1)0，所以函数f (x)在(，)上至多有一个零点，故不符合题意综上，实数a的取值范围是(，0)法二：数形结合法(学生用书提供解题过程)令f (x)0，即xexa(x1)20，得xexa(x1)2.当x1时，方程为e1a0，显然不成立，所以x1不是方程的解，即1不是函数f (x)的零点当x1时，分离参数得a.记g(x)(x1)，则g(x).当x1时，g(x)1时，g(x)0，函数g(x)单调递增当x0时，g(x)0；当x时，g(x)0；当x1时，g(x)；当x时，g(x).故函数g(x)的图象如图所示作出直线ya，由图可知，当a0时，直线ya和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f (x)有两个零点故实数a的取值范围是(，0)