1、32等比数列一、概念与公式1.定义2.通项公式3.前 n 项和公式二、等比数列的性质1.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:a1an=a2an-1=a3an-2=.若数列 an 满足:=q(常数),则称 an 为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m.na1 (q=1);Sn=a1-anq1-q=(q1).a1(1-qn)1-qa1an=a2an-1=a3an-2=a中2.特别地,若 m+n=2p,则 aman=ap2.2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*),则 apaq=aras.3.等比中项如果
2、在两个数 a、b 中间插入一个数 G,使 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.5.顺次 n 项和性质4.若数列 an 是等比数列,m,p,n 成等差数列,则 am,ap,an成等比数列.6.若数列 an,bn 是等比数列,则数列 anbn,也是等比数列.anbnG=ab.若 an 是公比为 q 的等比数列,则 ak,ak,ak 也成等比数列,且公比为 qn.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 7.单调性8.若数列 an 是等差数列,则 ban 是等比数列;若数列 an是正项等比数列,则 logban 是等差数列.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法
3、;3.等比中项法.a10,q1,a10,0q0,0q1,a11,an 是递减数列;q=1 an 是常数列;q0)的等比数列.(1)求使 anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的 q 的取值范围;(2)若 bn=a2n-1+a2n(nN*),求 bn 的通项公式.(1)0q0.后三数成等比数列,其最后一个数是 25,解得:a=16,d=4.故所求四数分别为 12,16,20,25.a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.a-d=12,a+d=20.课后练习题2.在等比数列 an 中,a1+a6=33,a3a4=32,an+1an.(1)求 an;(2)若 Tn=l
4、ga1+lga2+lgan,求 Tn.解:(1)an 是等比数列,a1a6=a3a4=32.又a1+a6=33,a1,a6 是方程 x2-33x+32=0 的两实根.an+1an,a60,bn0,由式得 an+1=bnbn+1.(1)证:依题意有:2bn=an+an+1,an+1=bnbn+1.2222从而当 n2 时,an=bn-1bn,代入得 2bn=bn-1bn+bnbn+1.22bn=bn-1+bn+1(n2).bn 是等差数列.(2)解:由 a1=1,b1=2 及两式易得 a2=3,b2=2.32从而 bn=b1+(n-1)d=(n+1).22故 an+1=(n+1)(n+2).12
5、 an=n(n+1)(n2).12而 a1=1 亦适合上式,an=n(n+1)(nN*).12 Sn=2(1-+-+-)n11212131 n+1 2nn+1=.8.设数列 an 的前 n 项和为Sn(其中,nN*),若 Sn=(c+1)-can,其中 c 为不等于-1 和 0 的常数.(1)求证 an 是等比数列;(2)设数列 an 的公比 q=f(c),数列 bn 满足:b1=,bn=f(bn-1)(其中,nN*,且 n2).求数列 bn 的通项公式.13(1)证:Sn=(c+1)-can(nN*),a1=(c+1)-ca1.(c+1)a1=c+1.c-1,a1=1.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=can-1-can(c+1)an=can-1.anan-1 cc+1 =,这是一个与 n 无关的常数.c-1 且 c0,(2)解:由(1)知q=f(c)=,cc+1 bn=f(bn-1)=(nN*,且n2).bn-1 bn-1+1 bn-11bn1 =+1.bn-11bn1即-=1.是以=3 为首项,1 为公差的等差数列.bn1b1 1bn1 =3+(n-1)1=n+2.an 是以 1 为首项,为公比的等比数列.c+1cbn=.n+21