1、7.2 三角函数概念 7.2.2 同角三角函数关系 第7章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan sin cos.(重点)2能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明(重点、难点)1通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养2借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1结合如图所示的单位圆，设点 P(x，y)为单位圆与角 的终边的交点，则 x，y 满足什么关系？设角 的终边与单位圆交于点 P，则点 P的坐标是什么？那么 sin 与 cos 满足什么关系？tan 与 sin，cos 之间满足什么关系？知识点 同
2、角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：tan _k2，kZ.sin2cos2 1sin cos 1.sin2cos21 恒成立吗？提示 不一定2.对任意角，sin2 2cos2 21 是否成立提示 成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231 都成立()(2)对任意角，sin 2cos 2tan 2都成立()(3)sin 12是 cos 32 的充分条件()提示(1)符合同角三角函数的关系(2)等式sin2cos 2tan 2的条件是cos 20，22k，kZ，即 2k，kZ.(3)因
3、为 的范围不明确，故 cos 1sin2 32，由 sin 12不能推出 cos 32.答案(1)(2)(3)合作探究释疑难 NO.2类型1 利用同角三角函数基本关系式求值 类型2 三角函数式的化简、求值 类型3 三角函数式的证明 类型4“sin cos”同“sin cos”间的关系 类型 1 利用同角三角函数基本关系式求值【例 1】(1)已知 sin 35，求 cos，tan 的值；(2)已知 sin 2cos 0，求 2sin cos cos2 的值解(1)因为 sin 0，sin 1，所以 是第三或第四象限角由 sin2cos21 得 cos21sin213521625.如果 是第三象限
4、角，那么 cos 0.于是 cos 162545，从而 tan sin cos 35 54 34.如果 是第四象限角，那么 cos 45，tan 34.(2)法一：由 sin 2cos 0，得 tan 2.所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21 41411.法二：由 sin 2cos 0 得 2cos sin，所以 2sin cos cos2sin2cos2(sin2cos2)1.1求三角函数值的方法是什么？提示(1)已知 sin(或 cos)求 tan 常用以下方式求解(2)已知 tan 求 sin(或 cos)常用以下方式求解当角
5、的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 分区间(象限)讨论2已知角 的正切求关于 sin，cos 的齐次式的方法是什么？提示(1)关于 sin，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cos 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan 的式子，再代入求值(2)若关于 sin，cos 的二次齐次式无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2cos2 来代换，将分子、分母同除以 cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值跟进训练1已知 tan 2，求 sin，cos 的值解 法一：tan 20，
6、为第二或第四象限角，且 sin 2cos，又 sin2cos21，由消去 sin，得(2cos)2cos21，即 cos215.当 为第二象限角时，cos 55，代入得 sin 2 55；当 为第四象限角时，cos 55，代入得 sin 2 55.法二：tan 20，为第二或第四象限角由 tan sin cos，两边分别平方，得 tan2sin2cos2，又 sin2cos21，tan21sin2cos21sin2cos2cos21cos2，即 cos211tan2.当 为第二象限角时，cos 0，cos 11tan21122 55，sin tan cos(2)55 2 55.类型 2 三角函
7、数式的化简、求值【例 2】(1)化简：12sin 130cos 130sin 130 1sin2130；(2)若角 是第二象限角，化简：tan 1sin21.思路点拨(1)利用平方关系代换“1”构造完全平方开方 化简求值(2)切化弦化简求值解(1)原式 sin21302sin 130cos 130cos2130sin 130 cos2130|sin 130cos 130|sin 130|cos 130|sin 130cos 130sin 130cos 1301.(2)原式tan 1sin2sin2 tan cos2sin2sin cos|cos|sin|，因为 是第二象限角，所以 sin 0，
8、cos 0，所以原式sin cos|cos|sin|sin cos cos sin 1.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos 时，其正负号是由角 所在的象限决定，不可凭空想象跟进训练2化简：(1)已知 是第一象限角，1cos 1cos 1cos 1cos；(2)sin 1cos tan sin tan sin.解(
9、1)原式1cos 21cos2 1cos 21cos2 1cos 2sin21cos 2sin2 1cos sin 1cos sin.因为 是第一象限角，所以 0sin 1,0cos 1，所以原式1cos sin 1cos sin 2cos sin 2tan.(2)原式sin 1cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 21cos2 sin 1cos 1cos|sin|1.类型 3 三角函数式的证明【例 3】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明 法一：左边sin2 sin s
10、in cos sin 1cos，右边sin sin cos sin2 1cos sin，因为 sin2 1cos2(1cos)(1cos)，所以sin 1cos 1cos sin，所以左边右边，所以原等式成立法二：因为右边tan2 sin2 tan sin tan sin tan2 tan2 cos2 tan sin tan sin tan2 1cos2 tan sin tan sin tan2 sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边所以原等式成立1在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知 ta
11、n，求关于 sin，cos 的齐次式的问题)；“1”的代换(1sin2cos2)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用2利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异(4)变更命题法，如要证明abcd，可证 adbc 或证dbca等(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“左边右边1”跟进训练3证明：2sin cos sin cos
12、 1sin cos 11cos sin.证明 左边2sin cos sin cos 1sin cos 12sin cos sin2cos 122sin cos sin2cos212cos 2sin cos 2cos 1cos sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos sin21cos sin 右边所以原等式成立类型 4“sin cos”同“sin cos”间的关系【例 4】已知 sin cos 15，且 0.求：(1)sin cos 的值；(2)求 sin cos 的值解(1)sin cos 15，(sin cos)2 125，12sin cos 125，即 s
13、in cos 1225.(2)(sin cos)212sin cos 124254925.又0，且 sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos 75.1已知 sin cos 求 sin cos，只需平方便可2已知 sin cos 求 sin cos 时需开方，此时要根据已知角 的范围，确定 sin cos 的正负跟进训练4已知ABC 中，sin Acos A 312，则 A 的值为_23 A(0，)，sin Acos Asin Acos A212 34 0，则 sin Acos A0，(sin Acos A)212 sin Acos A2 323122，所以
14、 sin Acos A 312，解得 sin A 32，cos A12，又 A2，所以 A23.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B sin 513，且 为第四象限角，故 cos 1213，tan 512.1若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A 512 B 512C125D1251 2 3 4 5 A 因为 tan 12，所以 2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1212122143.2已知 tan 12，则 2sin cos sin2 cos2 的值是()A43B3C43D31 2 3 4 5 138 由已知得 cos 1142 1
15、54，所以 sin 2cos2 142 1542138.3sin 14，且 2，则 sin 2cos2 _.1 2 3 4 5 38 cos sin 12，(cos sin)214，即 12sin cos 14，sin cos 38.4已知 cos sin 12，则 sin cos 的值为_5 1 2 3 4 312 由 tan 332，得sin2cos21，sin 3cos，解得sin 32，cos 12，cos sin 312.5已知 tan 332，则 cos sin 等于_回顾本节知识，自我完成以下问题1应用三角函数关系求值时应注意什么问题？提示 判断角 所在象限，分类讨论求值，注意三角函数值的符号2求 sin cos 或 sin cos 的值应注意什么问题？提示 要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号3证明三角恒等式常用哪些方法？提示(1)从右到左(2)从左到右(3)左右归一4本节课的易错点是什么？提示 本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求 sin，cos 的值时，易忽视对角 所处象限的讨论，造成 sin，cos 漏解或多解的错误点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
