1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算11.1 空间向量及其运算第1课时 空间向量的概念及其线性运算必备知识自主学习1.空间向量的概念(1)在空间，把具有_和_的量称为空间向量，向量的大小称为向量的_或_空间向量也用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或.ABAB大小方向长度模长度(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量_相同的向量叫做零向量，记为0，方向是不确定的单位向量_的向量称为单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a.相等向量大小_方向_的向量称为相等向量共线向量 或平行向量空
2、间两个非零向量的方向_，则称这两个向量平行或共线起点与终点模为1相等相反相等相同相同或者相反【思考】(1)空间向量与平面向量的关系是怎样的？提示：平面向量的集合是空间向量集合的子集，平面向量的概念在空间向量中仍然成立如相反向量的概念、向量等式中的移项法则、零向量的性质在空间向量中仍然成立(2)零向量是没有方向的吗？提示：不是，零向量的方向是不确定的2空间向量的加、减、数乘运算及其运算律【思考】(1)空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？提示：完全一致(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，它们的和向量有什么特点？提示：和向量为0.【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打
3、“”).(1)在空间中，单位向量唯一()(2)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线()(3)空间向量的数乘中只决定向量的大小，不决定向量的方向()提示：(1).单位向量模都相等，但是方向不一定相同(2).互为相反向量的两个向量方向相反，长度相等是共线向量(3).当0时，a与a同向，当0时，a与a反向2(教材例题改编)已知空间四边形ABCD中，AB a，CB b，AD c，则CD等于()AabcBabcC.abcDabc【解析】选C.CD CB BA AD bacabc.3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量1AA 与1CC 是_向量，向量AC与11C A 是_向量【解析】对照图形，结合
4、相等向量、相反向量的概念可以解决答案：相等 相反关键能力合作学习类型一 空间向量的概念理解(数学抽象)1.若|a|b|，则()A.abC.abD不能比较大小2对于空间相等向量的描述，正确的是()A.方向相同或相反 B一定是共线向量C.起点与终点相同 D都是单位向量3如图，在长方体 ABCDABCD中，下列说法正确的是()A.A D CB B AAAD C.向量AD 与C D 共线 D向量AD 与C D 共面【解析】1.选 D.向量不能比较大小，向量的模可以比较大小 2选 B.空间相等向量方向相同，长度相等，起点和终点不一定相同，一定是共线的，但不一定都是单位向量 3选 D.向量A D 与CB
5、长度相等，方向相反，故A D CB，A 选项错误；在长方体中，无法判断 AAAD，故 B 选项错误；向量AD 与C D 方向既不相同，也不相反，不是共线向量，但是可以平移到同一平面上，是共面向量，故 C 选项错误，D 选项正确 对空间向量概念理解的关注点：1在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致2两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反3零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性【补偿训练】下列说法正确的是()A.若|a|b|，则abB.若a，b为相反
6、向量，则ab0C.空间内两平行向量相等D.在四边形ABCD中，AB AD DB【解析】选D.向量的模相等，但向量的方向不一定相同，不可能为相等向量，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确类型二 空间向量的线性运算(直观想象、逻辑推理)角度1 空间向量的加法、减法运算【典例】在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中(1)化简1 1A F EF AB 1CC，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简AB 1CC DE 11B D，并在图中标出化简结果的向量【思路导引】根据六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，所有
7、的侧棱平行且相等，相对的两条边平行且相等，结合空间向量的加法与减法运算的三角形法则，求出答案并画出图形【解析】(1)正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，1 1A F EF AB 1CC AF FE AB 1CC AE AB 1CC AD 1DD 1AD，如图 1 所示(2)AB 1CC DE 11B D(AB DE)(111B DCC)(AB AB)(BD 1DD)011BDBD，如图2所示 本例条件不变，化简111A EE DAF FE.【解析】在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，111A EE DAF FE 111A EE DFA EF 1A DDC CB 1
8、A B角度2 空间向量的数乘运算【典例】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：1A O12 AB 12 AD；(2)设E是棱DD1上的点，且DE 231DD，证明：EO 12 AB 12 AD 231AA【思路导引】根据空间向量的线性运算先求AB AD，然后结合图象进行化简，即可得到结论【解析】(1)1A O12(AB AD)1A OAO 1A A(2)12 AB 12 AD 23 1AA 12(AB AD)AD 23 1AA AO ADDE AO AE EO，所以EO 12 AB 12 AD 23 1AA 1空间向量加法、减法运算的关注点(1)关键：三
9、角形法则和平行四边形法则；(2)技巧：巧用相反向量可使向量间首尾相接，巧用空间向量的自由平移获得更准确的结果2利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质1如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB 1BA；(2)AC CB 12 1AA；(3)1AA AC CB.【解析】(1)CB 11BACA；(2)AC CB 12 1AA AB 12 1AA AM；(3)1AA AC CB 1CA CB 1
10、BA 2在四面体ABCD中E，F分别为棱AC，BD的中点，求证：AB CB AD CD 4EF.【证明】左边(AB AD)(CB CD)2AF 2CF 2(AF CF)4EF 右边，得证【补偿训练】如图，已知正方体ABCDABCD，点E是上底面ABCD的中心，(1)化简：12 AD AA12 AB；(2)求证：AB AD AAD B.【解析】(1)12 AD AA12 ABAA12 AD 12 AB AA12(AD AB)AA12 A CAAA E AE.(2)AB AD AA BA AD DDBD DDBDD B.类型三 用已知向量表示未知向量(直观想象、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥P-O
11、ABC的底面为一矩形，PO平面OABC.设OA a，OC b，OP c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.四步内容理解题意条件：四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC.OA a，OC b，OP c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点结论：用 a，b，c 表示BF，BE，AE，EF.思路探求根据空间向量的线性运算的几何意义，用向量OA，OC 与OP 分别表示BF，BE，AE 和EF.四步内容书写表达在四棱锥 P-OABC 中，PO平面 OABC，OA a，OC b，OP c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，所以BF 12 BP 1
12、2(OP OB)12 OP 12(OA OC)12 c12 a12 b，四步内容书写表达BE CE CB 12 CP OA 12(OP OC)OA 12 c12 ba，AE OE OA 12(OP OC)OA 12 c12 ba，EF 12 CB 12 OA 12 a.题后反思用已知向量表示未知向量问题的实质：向量线性运算的应用，就是通过向量的加法、减法、数乘法则用一些向量表示相关向量用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；(2)要注意数形结合思想的运用如图所示，ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简1
13、2 1AA BC 23 AB，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N14 C1B，设MN AB AD 1AA，求，的值【解析】(1)向量121AA BC 23 AB，是在AB上截取AP23 AB，过点P作PQBC，交CD于点Q，再过点Q作QRCC1，且QR12 CC1，连接AR，则AP 23 AB，PQ BC，QR 12 1AA，AR 12 1AA BC 23 AB，如图所示；(2)M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N14 C1B，所以MN MB BN 12 DB 34 1BC12(DA DC)34
14、(1BB BC)12 AD 12 AB 34 1AA 34 AD 12 AB 14 AD 341AA，又MN AB AD 1AA，所以12，14，34.课堂检测素养达标1下列命题中，假命题是()A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.两个共线向量，它们的方向相同或相反 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等【解析】选D.空间向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小；共线向量的方向相同或相反；零向量的模等于0；单位向量模相等，方向不一定相同2在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量AB 相等的向量共有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选C.与AB 相等的向量有
15、11A B，DC，11D C，共3个3正方体ABCD-A1B1C1D1中，111BBA DCD()A.1A C BBD C1CD D1BD【解析】选D.由题意可得111BBA DCD 111111BBB CC DBD4(教材练习改编)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，共面的向量为()AAB，AD，1CC BBC，CD，11A B CAB，BC，1DD DBC，1BB,11A B 【解析】选B.根据共面向量的定义判断5化简2AB 2BC 3CD 3DA AC _【解析】2AB 2BC 3CD 3DA AC 2(AB BC CD DA)CD DA AC 0CA AC 000.答案：0
