1、2011届高考数学复习 强化双基系列课件30数列概念一、数列的概念 1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.二、数列的表示 1.列举法2.图象法3.通项公式法若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达,即 an=f(n),则 an=f(n)叫做数列的通项公式.4.递推公式法如果已知数列的第一项(或前几项),且任一项
2、与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.三、数列的分类 1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按|an|是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an=ak;nk=1 an=S1 (n=1),Sn-Sn-1 (n2).五、数列的单调性 设 D 是由连续的正整数构成的集合,若对于 D 中的每一个n 都有 an+1an(或 an+1an),则称数列 an 在 D 内单调递增(或单调递减).方法：作差、作商、函数求导.六、重要变换 an=
3、a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1);an=a1.anan-1a2 a1 a3 a2 典型例题 1.若数列 an 满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),则当 n2 时,an 的通项 an=.2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 an 是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为.3.设数列 an 的前 n 项和为 Sn,Sn=(对于所有n1),且 a4=54,则 a1 的数值为.a1
4、(3n-1)24.在数列 an 中,a1=,an+1-an=,求数列 an 的通项公式.124n2-1 1n!2an=324n-2 4n-3 an=n 为奇数时,Sn=n-;n 为偶数时,Sn=n.1252525.已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足:log2(1+Sn)=n+1,求数列an 的通项公式.6.设数列 an 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,3,);数列 bn 满足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,).求数列 an、bn 的通项公式.3,n=1,2n,n2.an=an=2n-1bn=2n-1+2 7.设数列 an 的前 n 项和 Sn=3n2-6
5、5n,求数列|an|的前 n 项和 Tn.-3n2+65n,n11,3n2-65n+704,n12.Tn=8.已知数列 an 的通项 an=(n+1)(),问是否存在正整数 M,使得对任意正整数 n 都有 anaM?n109当 nan,an 单调递增；当 n8 时,an+1an,an 单调递减.而 a8=a9,即 a1a2a10a11,a8 与 a9 是数列 an 的最大项.故存在 M=8 或 9,使得 anaM 对 nN+恒成立.解:an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n 119119=()n.11910 8-n 9.求使得不等式+2a-5 对 nN*恒成立的正整数 a 的最
6、大值.1 3n+11 n+1 1 n+2 1 n+3 解:记 f(n)=+,考察 f(n)的单调性.1 3n+11 n+1 1 n+2 1 n+3 f(n+1)f(n),f(n+1)-f(n)=+-1 3n+21 3n+31 3n+41 n+1=+-1 3n+21 3n+42 3n+3=0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)评析数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握求数列单调性的程序.当 n=1 时,f(n)有最小值 f(1)=+=.1213141213要使题中不等式对 nN*恒成立,只须 2a-5 .1213正整数 a 的最大值是3.解得
7、a .2473课后练习 1.根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,-,-,;3436321315(2)5,55,555,.an=(-1)n 2+(-1)nnan=5555=(9999)=(10n-1)n 个59n 个59(3)-1,7,-13,19,;(4)7,77,777,7777,;(5),;236389910154356(6)5,0,-5,0,5,0,-5,0,.an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)an=5sin 2n2.已知下面各数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式,求 an 的通项公式:(1)Sn=2n2-
8、3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=-1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5,故 an=4n-5(nN*).(2)当 n=1 时,a1=S1=5;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=6n-2,故 an=5,n=1,6n-2,n2.(3)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=23n-1,故 an=1,n=1,23n-1,n2.3.已知数列 an 满足 a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求 a2,a3;(2)证明:an=.3n-1 2(1)解:a1=1,an=3n-1+an-1(n2)
9、,a2=32-1+a1=3+1=4,a3=33-1+a2=9+4=13.故 a2,a3 的值分别为 4,13.(2)证:a1=1,an=3n-1+an-1,an-an-1=3n-1.an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3+32+3n-13n-1 2故 an=.3n-1 23n-13-13-1=.4.设函数 f(x)=log2x-logx2(0 x1),数列 an 满足 f(2an)=2n,n=1,2,3,.(1)求数列 an 的通项公式;(2)判断数列 an 的单调性.解:(1)由已知 log22an-=2n,log22an1an-=2n,1an即 an2-2n
10、an-1=0.解得 an=n n2+1.故 an=n-n2+1(nN*).0 x1,即 02an1,an0.(2)=an+1 an(n+1)-(n+1)2+1n-n2+1(n+1)+(n+1)2+1n+n2+1=1.而anan.故数列 an 是递增数列.5.已知数列 an 的通项 an=(n+1)()n(nN*),试问该数列an 有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.1110当 n0,即 an+1an;当 n9 时,an+1-an0,即 an+10),则有:a24=a14q=(a11+3d)q,a32=a12q2=(a11+d)q2,12(+3d)q=1,(+d)q2
11、=,1214即:解得:q=d=.1212故公比 q 的值为.1212(2)a1k=a11+(k-1)d=+(k-1)=.k2n212(3)A1=a11+a12+a13+a1n=(+)=.n2n(n+1)4Ak=ak1+ak2+ak3+akn=qk-1A1=()k-1=.12n(n+1)4n(n+1)2k+1 7.已知数列 2n-1an 的前 n 项和 Sn=9-6n.(1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn=n(3-log2 ),求数列 的前 n 项和.|an|3bn1解:(1)当 n=1 时,20a1=S1=9-6=3,a1=3;当 n2 时,2n-1an=Sn-Sn-1=-6,故 a
12、n=-,n2.3,n=1,2n-2 3 an=-.2n-2 3(2)当 n=1 时,b1=3-log21=3,=;b1113当 n2 时,bn=n(3-log2 )=n(n+1),32n-2 3bn1=-.n1n+1156=-.n+11+=+(-)+(-)b11b2 1bn113n11213n+118.已知数列 an,bn 满足 a1=1,a2=a(a为常数),且 bn=anan+1,其中,n=1,2,3,.(1)若 an 是等比数列,试求数列 bn 的前 n项和 Sn 的公式.解:an 是等比数列,a1=1,a2=a,a0,an=an-1.又 bn=anan+1,b1=a1a2=a,且有:b
13、n+1 bnanan+1 an+1an+2=a2.an+2 anbn 是以 a 为首项,a2 为公比的等比数列.当 a=1 时,Sn=1+1+1=n;当 a=-1 时,Sn=-1-1-1=-n;当 a1 时,Sn=.1-a2 a(1-a2n)1-a2 a(1-a2n)故 Sn=n,a=1,-n,a=-1,a1.(2)当 bn 是等比数列时,甲同学说:an 一定是等比数列,乙同学说:an 一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确?为什么?解:甲,乙两个同学的说法均不正确,理由如下:设 bn 的公比为 q,则:bn+1 bnanan+1 an+1an+2=q,且 a0.an+2 an又a1=1,a2=a,a1,a3,a5,a2n-1,是以 1 为首项,q 为公比的等比数列.a2,a4,a6,a2n,是以 a 为首项,q 为公比的等比数列.即 an 为:1,a,q,aq,q2,aq2,.当 q=a2 时,an 是等比数列,当 qa2 时,an 不是等比数列.法二:举例说明 an 可能是等比数列,也可能不是:设 bn 的公比为 q,取 a=q=1,则:an=1(nN*).此时 bn=1,an 与 bn 都是等比数列;取 a=2,q=1,则:an=,bn=2.1(n为奇数)2(n为偶数)此时 bn 是等比数列,而an不是等比数列.