1、8.3 空间图形的基本关系及公理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.3 空间图形的基本关系及公理双基研习面对高考 1空间图形的基本关系(1)点和直线的位置有两种：_和点在直线外(2)点和平面的位置有两种：点在平面内和_(3)空间两条直线的位置关系有三种：_、相交直线和_双基研习面对高考 基础梳理 点在直线上点在平面外异面直线平行直线(4)空 间 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种：_、直 线 和 平 面 相 交、_(5)空 间 两 平 面 的 位 置 关 系 有 两 种：_ 直线在平面内直线与平面平行两平面平行和两平面相交提示：不一定，可能存在平面，使a，b.思考感悟若a
2、，b，则a，b就一定是异面直线吗？2空间图形的公理及等角定理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上_都在这个平面内(即直线_)若 Al，Bl，A，B，则_两点所有的点在平面内文字语言图形语言符号语言公理2经过不在同一条直线上的三点，_一个平面(即可以确定一个平面)若 A、B、C 三点不共线，则_一个平面 使 A，B，C公理3如果两个不重合的平面_，那么它们_一条通过这个点的公共直线若 A，A，则_有且只有A、B、C三点确定有且只有l，且Al有一个公共点文字语言图形语言符号语言公理4平行于同一条直线的两条直线_若 ab，bc，则_等角定理空间中，如果两个角的
3、两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补若 AOAO，BC_，则AOBAOB，AOC 和AOB互补平行acBO3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的_就是异面直线a，b所成的角 如果两条异面直线所成的角是_，则称这两条直线互相垂直 锐角或直角直角(2)范围：_(0，2课前热身 1(教材习题改编)如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A平行B垂直C相交成60D异面成60答案：D2若三个平面两两相交，且三条交线相交于一点，则这三个平面把空间分成()部分A5 B6C7 D
4、8答案：D3下列四个命题中，正确命题的个数是()空间不同三点确定一个平面；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形A0 B1C2 D3答案：A4(2010年西安调研)已知a、b是异面直线，下列命题：存在一个平面，使a，且b；存在一个平面，使a且b；存在一个平面，使a，且b与相交；存在一个平面，使a，b到平面的距离相等其中正确命题是_答案：5如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与C1B所成的角是_解析：将直线 AB1 平移至 C1D，在等边三角形C1DB 中得DC1B3，即两异面直线所成的角为3.答案：3考点
5、探究挑战高考 考点突破 共面问题证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合例1如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G、H 分别是 FA、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？【思路点拨】(1)由 G、H 分别为 FA、FD 的中点，得 GH 綊12AD，易得 BC 綊 GH，从而四边形 BCHG 是
6、平行四边形(2)证明 D 点在 EF、CH 确定的平面内【解】(1)证明：由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊12AD.又 BC 綊12AD，GH 綊 BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)由 BE 綊12AF，G 为 FA 中点知，BE 綊 FG，四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG.由(1)知 BGCH，EFCH，EF 与 CH 共面又 DFH，C、D、F、E 四点共面【易错警示】本题易错点是不能把证明C、D、F、E共面转化为C、H、F、E共面，在分析题意时，应仔细分析问题中每一句话的含义 三点共线与三线共点问题利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共
7、线的常用方法证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上例2如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CFCBCGCD23，(1)求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点(2)若在本题中，AEEBCFFB2，AHHDCGGD3，其他条件不变求证：EH，FG，BD 三线共点【思路点拨】(1)先证E，F，G，H四点共面，再证EF，GH交于一点，然后证明这一点在AC上(
8、2)画出图形，模仿(1)进行证明【证明】(1)E，H 分别是 AB，AD 的中点，由中位线定理可知，EH 綊12BD.又CFCBCGCD23，在CBD 中，FGBD，且 FG23BD.由公理 4 知，EHFG，且 EHHG.所以四边形EFGH为梯形设EH与FG交于点P，则P平面ABD，P平面BCD，所以P在两平面的交线BD上，所以EH、FG、BD三线共点【易错警示】证明线共点时，两条直线相交可能缺乏理论依据变式训练1 如图所示，O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点 求证：O1、M、A三点共线 证明：A1C1B1D1O1.又B
9、1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，O1平面B1D1A，O1平面AA1C1C.A1C平面B1D1AM，A1C平面AA1C1C，M平面B1D1A，M平面AA1C1C.又A平面B1D1A，A平面AA1C1C.O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线异面直线所成的角与异面直线相交的问题有异面直线的判定，异面直线所成的角，异面直线的公垂线及异面直线间的距离，这其中最重要的是异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般是通过平行线首先找到它们所成的角，然后放到三角形中，通过解三角形求之对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求例3(2010年高考湖南
10、卷改编)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值【思路点拨】【解】因为 C1D1B1A1，所以MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角因为 A1B1平面 BCC1B1，所以A1B1M90.而 A1B11，B1M B1C21MC21 2，故 tanMA1B1B1MA1B1 2.即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为2.【名师点评】求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法，都要特别注意异面直线所成角的范围是(0，90 变式训练2(2010年高考大纲全国卷)正三棱柱ABC-A1B1
11、C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60D90 解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，BA1(0,1,1)，AC1(1,0,1)cosBA1，AC1 BA1 AC1|BA1|AC1|12 212，BA1，AC1 60.异面直线 BA1与 AC1所成的角为 60.方法感悟 方法技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(如例1)(2)要证明“
12、点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线(如例2)2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线夹角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线夹角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以
13、便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解(如例3)失误防范1异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不是分别在两个平面内一定要理解定义2求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是(0，90考情分析 考向瞭望把脉高考 空间中的位置关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是异面直线的判定，异面直线所成的角题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档；客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法，主观题考查较全面，考查异面直线所成角的概念、求法、判定及异
14、面直线的判定，同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力预测2012年高考仍将以考查异面直线所成的角为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和运算能力真题透析 例(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱长度之和大于最长棱【思路点拨】画出图形，根据各个命题寻找其成立的根据，或者寻找其不成立的反例【解析】命题中，如果
15、AB，CD共面，则四点A，B，C，D共面，ABCD为平面图形，与ABCD是四面体矛盾，故命题正确；命题中，如果命题成立，即顶点A在底面BCD上的射影为底面三角形的垂心，如图(1)所示，则CDAH，CDBE，根据线面垂直的判定定理，知CD平面ABH，故CDAB，同理可以证明ADBC，ACBD，但这些条件在题目的已知中是不具备的，故命题不一定成立，即命题不正确；命题中，如图(2)所示，当ABC，ABD的AB边上的高的垂足为同一个点时，命题不成立，这种情况是完全可能的，如当CACB，DADB时，故命题不正确；命题中，如图(3)所示，E，F，G，H，I，J分别为BC，AD，CD，AB，AC，BD的中点
16、，连接各中点，容易证明四边形EHFG为平行四边形，故HG，EF相交于一点，且该点平分两线段，即交点为线段HG的中点，设为O；同理可以证明HG，IJ也相交于一点，且在该点互相平分，即线段IJ也过线段HG的中点O，故三组对棱中点的连线交于一点，故命题正确；命题中，如图(2)所示，设最长棱为AC，假设结论不成立，即不存在端点，则由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱，即从两个端点A，C引出的两条棱的长度之和均不大于AC，即ABADAC，CBCDAC，两个不等式相加，得ABADCBCD2AC，即(ABCB)(ADCD)2AC.在ABC，ADC中ABCBAC，ADCDAB，两式相加得(ABCB)(ADC
17、D)2AC，得出矛盾结论，说明假设不成立，故命题正确故填.【答案】【名师点评】立体几何中很多命题往往是用反证法证明，如本题中的命题、.这类命题的特点是没有可以直接利用的定理，直接证明非常困难，遇到这种情况往往使用反证法解决证明空间三线交于一点(这样的问题我们称之为三线共点)，基本思路是先证明两条直线交于一点(这只要证明这两条直线共面且不平行)，再证明第三条直线也过这个点即可 1在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是()A相交直线 B平行直线 C不垂直的异面直线D互相垂直的异面直线 解析：选A.由于几何体是四棱台，所以DD1与BB1延长后相交于一点，
18、即DD1与BB1所在直线是相交直线 名师预测 2以下四个命题中，正确命题的个数有()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1C2 D3解析：选B.正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上 3如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对解析：将展开图恢复成正方体后，得到AB和CD、EF和GH、AB和GH三对异面直线 答案：3 4如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD2AB2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_解析：如图所示，H 为 DA 的中点，则 FHEF.在 RtEFH 中，HE1，HF12，EHF60，即 EF 与 CD 所成的角为 30.答案：30本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用