1、基础诊断考点突破基础诊断考点突破第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础诊断考点突破最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义基础诊断考点突破知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为、.按终边位置不同分为和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ端点正角负角零角象限角基础诊断考点突破2弧度制的定义和公式(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的
2、圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.正数负数0基础诊断考点突破(2)公式角 的弧度数公式|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式弧长 l|r扇形面积公式S 12lr 12|r2基础诊断考点突破3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫作的正弦，记作sin 叫作的余弦，记作cos 叫作的正切，记作tan yx基础诊断考点突破各象限符号三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT基础诊断考点突破诊
3、 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)小于 90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30.()(4)若 0，2，则 tan sin.()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()基础诊断考点突破解析(1)锐角的取值范围是(0，90)(2)第一象限角不一定是锐角(3)顺时针旋转得到的角是负角(5)终边相同的角不一定相等答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破2角870的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 由8703360210，知870角和210角
4、终边相同，在第三象限答案 C基础诊断考点突破3下列与94 的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)解析 与94 的终边相同的角可以写成 2k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有 C 正确答案 C基础诊断考点突破4已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos()A.45 B.35 C35 D45解析 角 的终边经过点(4,3)，x4，y3，r5.cos xr45，故选 D.答案 D基础诊断考点突破5(必修 4P12 习题 6 改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案 3基础诊断考点突破考点
5、一 角的概念及其集合表示 【例 1】(1)若角 是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_基础诊断考点突破解析(1)是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角基础诊断考点突破(2)如图，在坐标系中画出直线 y 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是3，在0,2)内，终边在直线 y 3x 上的角有两个：3，43；在2，0)内满足条件的角有两个：23，53，故满足条件的角 构成的集合为53，23，3，43.答案(1)C(2)5
6、3，23，3，43基础诊断考点突破规律方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角(2)确定 k，k(kN)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角 的范围，再写出 k 或k的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或k的终边所在位置基础诊断考点突破【训练 1】(1)设集合 Mxxk218045，kZ，Nxxk418045，kZ，那么()AMNBMNCNMDMN(2)集合k4k2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()基础诊断考点突破解析(1)法一 由于 Mxxk218045，kZ
7、，45，45，135，225，Nxxk418045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有 MN，故选 B.法二 由于 M 中，xk218045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而 N 中，xk418045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有 MN，故选 B.基础诊断考点突破(2)当 k2n(nZ)时，2n42n2，此时 表示的范围与42表示的范围一样；当 k2n1(nZ)时，2n54 2n32，此时 表示的范围与54 32 表示的范围一样，故选 C.答案(1)B(2)C基础诊断考点突破考点二 弧度制及其应用【例2】已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(
8、1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？基础诊断考点突破解(1)603 rad，lR310103(cm)(2)由题意得2RR10，12R24，解得R1，8(舍去)，R4，12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l2R20.所以 S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以当 R5 时，S 取得最大值 25，此时 l10，2.基础诊断考点突破规律方法 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧
9、度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形基础诊断考点突破【训练2】已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为R.(1)若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？基础诊断考点突破解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则902，R10，l2105(cm)，S 弓S 扇S12510121022550(cm2)(2)扇形周长 C2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22
10、144C216.当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值C216.基础诊断考点突破考点三 三角函数的概念【例 3】(1)(2017铜川月考)已知角 的终边与单位圆 x2y21 交于点 P12，y0，则 cos 2 等于()A12B.12C 32D1基础诊断考点突破(2)(2016兰州模拟)已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 45，则 m 的值为()A12B.12C 32D.32(3)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限基础诊断考点突破解析(1)根据题意可知，cos 12，cos 22cos21214112
11、，故选 A.(2)r 64m29，cos 8m64m2945，m0，4m264m29 125，即 m12，故选 B.基础诊断考点突破(3)由sin 0知的终边在第三、四象限或y轴负半轴上，由tan 0知的终边在第二、四象限，故选D.答案(1)A(2)B(3)D基础诊断考点突破规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周
12、期性正确写出角的范围基础诊断考点突破【训练 3】(1)(2017青岛模拟)已知角 的终边与单位圆的交点P12，y，则 sin tan()A 33 B 33 C32 D32(2)满足 cos 12的角 的集合为_基础诊断考点突破解析(1)由|OP|214y21，得 y234，y 32.当 y 32 时，sin 32，tan 3，此时，sin tan 32.当 y 32 时，sin 32，tan 3，此时，sin tan 32.基础诊断考点突破(2)作直线 x12交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为2
13、k232k43，kZ.答案(1)C(2)2k232k43，kZ基础诊断考点突破思想方法1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧基础诊断考点突破易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况