1、8.4 空间中的平行关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.4 空间中的平行关系双基研习面对高考 1直线与平面平行的判定与性质双基研习面对高考 基础梳理 平面外平面内lb交线平行b相交直线平行bb2.平面与平面平行的判定与性质思考感悟 若一个平面内的一条或两条直线与另一平面的一条或两条直线对应平行，则这两个平面一定平行吗？提示：不一定若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行课前热身 1(教材习题改编)已知两条直线m，n及平面，下列四个命题(1)若m，n，则mn；(2)若m，mn，则n；(3)若m，则m平行于内所有直线；(4)若m平行于内无数条直线，
2、则m.其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3答案：A 2(2011年西安调研)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a ，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b答案：D3下列命题中正确的个数是()若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交A1 B2C3 D4答案：B4考察下列三个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 l、m
3、为直线，、为平面)，则此条件为_m lm l；lmm l；l l5如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_答案：平行考点探究挑战高考 考点突破 直线与平面平行的判定判定直线与平面平行，主要有三种方法：(1)利用定义(常用反证法)(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面，找其交线(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面例1 两
4、个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，MAC，NFB，且AMFN，求证：MN平面BCE.【思路点拨】证明MN平面BCE，可证明直线MN与平面BCE内某一条直线平行，也可证明直线MN所在的某一个平面与平面BCE平行【证明】法一：过M作MPBC，过N作NQBE，P、Q为垂足(如图)，连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又 NQ 22 BN 22 CMMP，MPQN 是平行四边形MNPQ.又 PQ平面 BCE，而 MN 平面 BCE，MN平面 BCE.法二：过 M 作 MGBC，交 AB 于 G(如图)，连结 NG.MGBC，BC平面 BCE，MG平面 BCE，MG平面 BCE.
5、又BGGACMMABNNF，GNAFBE，同理可证明 GN平面 BCE.MGNGG，平面 MNG平面 BCE.又 MN平面 MNG，MN平面 BCE.【误区警示】线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面 平面与平面平行的判定判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义(常用反证法)(2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行(3)利用面面平行的传递性：.(4)利用线面垂直的性质：ll.例2 如图所示，B为ACD所在平面外一点，M，N，G分
6、别为ABC，ABD，BCD的重心(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)若ACD是边长为2的正三角形判断MGN的形状并求MGN的面积【思路点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行判定定理得出面面平行在(1)的结论下，结合比例关系可求解(2)【解】(1)证明：连结 BM，BN，BG 并延长分别交 AC，AD，CD 于 E，F，H 三点，连结 EF，FH，HE.M 为ABC 的重心，N 为BAD 的重心，BMMEBNNF2，MNEF，同理 MGHE.MN平面 ACD，MG 平面 ACD，MN平面 ACD，MG平面 ACD.又MN 与 MG 相交于点 M，平面 MNG平面
7、 ACD.(2)由(1)知，平面 MNG平面 ACD，BMMEBNNF2，MGEHMNEF23.EH12AD，EF12CD，MG12ADMN12CD23，MGADMNCDNGAC13.又ACD 为正三角形，MNG 也为正三角形，且边长为13223，面积 S 34 49 39.【名师点评】面面平行常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用 直线与平面平行的性质及应用利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面这样就可以由性质定理实现平行转化(2011年济源质检)
8、如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时，其截面面积最大？例3【思路点拨】先利用线面平行的性质判定截面形状，再建立面积函数求最值【解】AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证 EFGH，截面 EFGH 是平行四边形设 ABa，CDb，FGH(即为异面直线 AB和 CD 所成的角或其补角)又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得xaCGBC，ybBGBC，两式相加得xayb1，即 yba(ax)，SEFGHFGGHsinxba(ax)sinbsinax(ax)x0
9、，ax0 且 x(ax)a 为定值，当且仅当 xax 时，面积取最大值，最大值为 Smaxbsina(xax2)2absin4，此时 xa2，即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时，截面面积最大【误区警示】本题易直观判定截面过各边中点时面积最大，而不从建立函数求最值的角度说明，缺乏严谨性 平面与平面平行的性质及应用平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据平面平面，点
10、A，C，点B，D，点 E、F 分 别 在 线 段 AB、CD 上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF；(2)若E、F分别是AB、CD的中点，AC4，BD6，且AC、BD所成的角为60，求EF的长【思路点拨】(1)证明EF时，应分AB、CD共面和异面两种情况；(2)求EF的长，应放在三角形中求解 例4【解】(1)证明：连结AC，BD.当AB，CD在同一平面内时，由于，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD，又EF ，BD，EF.当AB与CD异面时，设平面ACDDH，取DHAC，连结AH.，平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，
11、使AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH，GF，EG.又EGGFG，平面EFG平面.而EF平面EFG，EF.综上，EF.(2)如图所示，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF.E，F 分别为 AB，CD 的中点，MEBD，MFAC，且 ME12BD3，MF12AC2，EMF 为 AC 与 BD 所成的角(或其补角)，EMF60或 120.在EFM 中，EF ME2MF22MEMFcosEMF322223212 136，即 EF 7或 EF 19.【名师点评】在应用面面平行、线面平行的性质时，应准确构造平面，此处需用到相关公理的知识本题中对AB，CD位置关系的讨论具有一定的代
12、表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的性质证明“一个平面内的直线平行于另一个平面”这一结论 变式训练 已知平面平面，A，C，B，D，AB，AB且ABa，CD是斜线，若ACBDb，CDc，M，N分别是AB，CD的中点，如图(1)求证：MN平面；(2)求MN的长 解：(1)证明：作CEAB交平面于点E，则CEAB.四边形ABEC是平行四边形，取CE的中点P，连结MP，NP，则在CDE中，NPDE，NP平面，又M，P分别是平行四边形ABEC中一组对边的中点，MPBE，MP平面.又 MPNPP，
13、平面 MNP平面，MN平面.(2)DE c2a2，PN12 c2a2，cosBEDb2c2a2b22b c2a2，cosMPNb214c2a2MN22b c2a22.又cosBEDcosMPN，b2c2a2b22b c2a2b214c2a2MN22b c2a22.整理得 MN12 a24b2c2.方法感悟 方法技巧1平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质(如例1)3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.(如例2)失误防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2要正
14、确区别“任意”、“所有”与“无数”等量词的意义如“一条直线与平面内无数条直线平行，则这条直线一定与这个平面平行”是错误的考情分析 考向瞭望把脉高考 从近几年的高考试题来看，平行关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏高预测2012年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，考查“线线线面面面”的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力规范解答 例(本题满分12分)(2010年高考安徽卷)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BF
15、FC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求四面体B-DEF的体积【解】(1)证明：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G为 AC 的中点连结 EG，GH，由于 H 为 BC的中点，故 GH 綊12AB.又 EF 綊12AB，EF 綊 GH，四边形 EFHG 为平行四边形，3 分EGFH，FH平面EDB.4分(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有ABBC.又EFAB，EFBC.而EFFB，EF平面BFC，EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABCD.FHAC.又 FHEG，ACEG.又 ACBD，EGBDG，AC平面 ED
16、B.8 分(3)EFFB，BFC90，BF平面 CDEF.9分BF 为四面体 BDEF 的高，BCAB2，BFFC 2.又 EF1，10 分VB-DEF13121 2 213.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：推理论证不严谨，在使用线面平行，线面垂直定理时忽视定理的使用条件，如由EGFH就直接得出FH平面EDB；线面位置关系的证明思路不明确，找不到证明方向，缺乏转化意识(2)证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互转化，如本题是证明线面垂直，要通过证明线线垂直达到证明线面垂直的目的解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范
17、等 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.(1)求证：平面AB1D1平面C1BD；(2)求平面AB1D1和平面C1BD间的距离名师预测 解：(1)证明：ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1D1BD.又BD平面C1BD，B1D1平面C1BD.同理D1A平面C1BD.B1D1和D1A是平面AB1D1内的两条相交直线，因此，平面AB1D1平面C1BD.(2)连结A1C，设M、N分别是A1C和平面AB1D1、平面C1BD的交点，A1C在平面ABCD内的射影ACBD，A1CBD.同理 A1CBC1.A1C平面 C1BD.于是 A1C平面 AB1D1.因此 MN 的长即是两平行平面 AB1D1 和 C1BD 间的距离在平面A1ACC1 中，AA1CC1a，ACA1C1 2a，A1C 3a.设平面 AB1D1 和平面 A1ACC1 交于 AP(P 为B1D1 的中点)，则 MAP，又平面 C1BD 和平面A1ACC1交于C1Q(Q为BD的中点)，NC1Q，且 APC1Q.由平面几何的知识，知 M、N 为A1C 的两个三等分点，MN 33 a.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用