1、6.6 直接证明与间接证明 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.6 直接证明与间接证明双基研习面对高考 1综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫综合法双基研习面对高考 基础梳理 推理证明成立(2)框 图 表 示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(其中 P 表示条件，Q 表示要证结论)2分析法(1)定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法 要证明的结论充分条件(2)框 图 表 示：QP1 P1P2 P
2、2P3得到一个明显成立的条件.思考 综合法与分析法各有何特点？【思考提示】分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤3反证法假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法不成立矛盾课前热身 1用分析法证明：欲使AB，只需C0，则1a1b1c的值()A
3、一定是正数B一定是负数C可能是 0 D正、负不能确定答案：B答案：x0，且a3a1250，则使an0，d0.a650.答案：65 考点探究挑战高考 考点突破 综合法1综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性2综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是演绎推理方法例1(2010年高考浙江卷)已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x
4、3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【思路点拨】(1)先利用导数求出切线斜率，然后再求切线方程；(2)先求出x1，x2，x3再利用x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列可求出x4.【解】(1)当 a1，b2 时，因为 f(x)(x1)(3x5)，故 f(2)1.又 f(2)0，所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 yx2.(2)证明：因为 f(x)3(xa)(xa2b3)，由于 ab，故 aabc(abc)证 明：a4 b42a2b2，b4 c42b2c2，c4 a42a2c2.又a，b，c互不相等，上面三式中不能取“”号 a4b4c4a2b2b2c2a2c2，a
5、2b22ab，a2c2b2c22abc2，同理，a2b2a2c22a2bc，b2c2a2b22ab2c，又a，b，c互不相等，a2b2b2c2a2c2abc2a2bcab2c，由式得a4b4c4abc(abc)分析法分析法是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，其逻辑依据是演绎推理方法例2(2011 年 合 肥 调 研)已 知 a0，求 证：a2 1a2 2a1a2.【思路点拨】所给条件简单，所证结论复杂，一般采用分析法【证明】要证a2 1a2 2a1a2，只要证a2 1a22a1a 2.a0，故只要证(a2 1a22)2(a1a 2)2，即 a2
6、1a24 a2 1a24a22 1a22 2(a1a)2，从而只要证 2 a2 1a2 2(a1a)，只要证 4(a2 1a2)2(a22 1a2)，即 a2 1a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立【反思感悟】分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证 反证法反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立(否定结论)；(2)归谬：将“反设”作为条件，
7、由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立(结论成立)例3若 a，b，c 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6，求证：a，b，c中至少有一个大于 0.【思路点拨】命题中有“至少”、“不都”、“都不”、“没有”、“至多”等指示性词语，在用直接法很难证明时，可以采用反证法【证明】假设 a，b，c 都不大于 0，即 a0，b0，c0，则 abc0，而 abcx22y2y22z3z22x6(x1)2(y1)2(z1)23
8、，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，与 abc0 矛盾，因此假设不成立故 a，b，c 中至少有一个大于 0.【名师点评】反证法证题的实质是证明它的命题的否定不成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现 变式训练2 已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明：假设题中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴都没有两个不同的交点)，由yax22
9、bxc0，ybx22cxa0，ycx22axb0，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.同向不等式求和得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0，即(ab)2(bc)2(ca)20.abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证方法感悟 方法技巧1分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知(如例2)2综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知(如例1)3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思
10、考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论 q 相矛盾的假定綈 q；第三步：由 p 和綈 q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈 q 不真，于是原结论 q 成立，从而间接地证明了命题 pq 为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况(如例 3)失误防范1利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题
11、进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立考情分析 考向瞭望把脉高考 数学证明是每年必考的知识点之一，考查重点是利用综合法、反证法证明问题，题型大多为解答题，难度为中、高档主要是在知识交汇点处命题，像数列、立体几何的平行、垂直、不等式、解析几何等都有考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力预测2012年高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑
12、推理能力规范解答 例(本题满分 12 分)(2010 年高考湖北卷)已知数列an满足：a112，31an11an21an1an1，anan10，anan10，故 an(1)n113423n1.4 分bna2n1a2n134(23)n134(23)n114(23)n1.6分(2)证明：用反证法证明假设数列bn存在三项 br，bs，bt(rsbsbt，则只可能有 2bsbrbt 成立214(23)s114(23)r114(23)t1，两边同乘3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.10分由于 rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差
13、数列.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：不会整体换元，发现不了解题规律，致使本题无从入手；不会“反设”；不知道“至多”、“至少”、“不可能”这类题目用反证法证明会有“立竿见影”的效果(2)反证法是一种反设结论导出矛盾的证明方法，其难点就是如何反设结论和导出矛盾，破解的方法是：反设的结论就是新的已知条件，和题目中的其他已知条件一起进行推理，通过对题目具体情况的分析找到导出矛盾的方向 名师预测 若函数f(x)x2axb有两个不同的零点x1，x2，且1x1x23，证明：在f(1)，f(3)两个函数值中至少有一个小于1.证明：由于函数的零点 x1，x2 满足 1x1x23，故首先 1a23 且 f(a2)a24 b0，即6a2 且 ba24.假设 f(1)，f(3)两个函数值都不小于 1，则 f(1)1ab1 且 f(3)93ab1，即 ab0 且 3ab80.由于 bab0，即 a24a0，解得 a0，又6a2，故6a0，即 a212a320，解得 a4 或 a8，又6a2，故4a2，这与6a4 矛盾，故假设不成立，即两个函数值中至少有一个小于 1.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用