1、1 第 3 课时 用向量方法求空间中的角课时过关能力提升基础巩固1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等于()A.120B.60C.30D.以上均错解析:l 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120,它们所在直线的夹角为 60.则直线 l 与平面 所成的角为 90-60=30.答案:C2 在二面角-l-中,若平面 的一个法向量为n1()平面 的一个法向量为n2()则二面角 的大小等于 A.120B.150C.30或 150D.60或 120解析:设所求二面角的大小为,则|cos|所以=30或 150.答案:C3 若平面 的一个法向量为 n=
2、(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 所成角的余弦值为()A.C.解析:cos -故l 与 所成角的余弦值为-(-)答案:D4 设四边形 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA平面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于()A.45B.30C.90D.60解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),2 设异面直线 AC 与 BF 所成的角为,cos=|cos 又(0,90,=60.答案:D5 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则 CD
3、与平面 BDC1所成角的正弦值等于()A 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1=2AB=2,则 B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故 设平面 BDC1的法向量为 n=(x,y,z),则 即 令 z=1,则 y=-2,x=2,所以平面 BDC1的一个法向量为 n=(2,-2,1).设直线 CD 与平面 BDC1所成的角为,则 sin=|cosn 答案:A6 在正四棱锥 P-ABCD 中,高为 1,底面边长为 2,E 为 BC 的中点,则异面直线 PE 与 DB 所成的角为 .解析:建立坐标系如图,则 B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0
4、,1,0),P(0,0,1),3 cos 与DB 所成的角为 答案:7 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,二面角 A-BD1-B1的大小为 .解析:如图,以点 C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 a,则 A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),设平面 ABD1的法向量为 n=(x,y,z),则 n (0,a,0)=ay=0,n (-a,a,a)=-ax+ay+az=0.a0,y=0,x=z.令 x=z=1,则 n=(1,0,1),同理,求得平面 B1BD1的法向量 m=(1,1,0),cos =60.而二面角 A-BD1-B1为钝角,故为
5、120.答案:1208 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 上的动点.若异面直线 AD1与EC 所成角为 60,试确定此时动点 E 的位置.解:以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DD1所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系.4 设 E(1,t,0)(0t2),则 A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0)根据数量积的定义及已知得:1+0(t-2)+0 -cos 60,所以 t=1.所以点 E 的位置是 AB 的中点.9 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA平面 ABCD
6、,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC=BAD 求平面 与平面 所成二面角的余弦值 解:以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为 AD平面 PAB,所以 是平面PAB 的一个法向量 因为 设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z),则 m m 即 令 y=1,解得 z=1,x=1.所以 m=(1,1,1)是平面 PCD 的一个法向量.从而 cos m 所以平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 能力提升1 已知 E,F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱
7、 BC,CC1的中点,则截面 AEFD1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是()A 5 解析:以 D 为坐标原点,以 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则 A(1,0,0),()()()设平面 AEFD1的法向量为 n=(x,y,z),则 x=2y=z.取 y=1,则 n=(2,1,2),而平面 ABCD 的一个法向量为 u=(0,0,1),cos n,u 答案:C2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 A1B1,BB1的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是()A 解析:如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0
8、),()()()()6 cos 答案:D3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 EFAC,EFA1D,则 EF 与 BD1所成的角是()A.90B.60C.30D.0解析:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 a,则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),EFAC,EFA1D,设 (a,0,a)=ax+az=0,(-a,a,0)=-ax+ay=0.a0 x=y=-z(x0).即BD1EF.故 EF 与 BD1所成的角是 0.答案:D4 二面角-l-内有一点 P,若点 P 到平面,的距离分别是 5
9、,8,且点 P 在平面,内的射影间的距离为 7,则二面角的度数是()A.30B.60C.120D.150解析:如图,PA,PB,ADB 为二面角-l-的平面角.7 由题意知 PA=5,PB=8,AB=7,由余弦定理,可得 cos APB -则APB=60,故ADB=120.答案:C5 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60和 45,则异面直线 B1C和 C1D 所成角的余弦值为 .解析:建立如图的空间直角坐标系,可知CB1C1=60,DC1D1=45.设 B1C1=1,则 CC1 C1D1 则有B1 cos 答案:6 如图,在三棱锥 P-ABC
10、中,PA=PB=PC=BC,且BAC 则 与底面 所成角的大小为 解析:如图所示,PA=PB=PC,P 在底面上的射影 O 是ABC 的外心.又BAC 在BC 上且为 BC 的中点.8 AO 为 PA 在底面上的射影,PAO 即为所求的角.在PAO 中,PO PAO PAO 答案:7 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 BC1与平面 A1BD 所成角的余弦值是 .解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,则 B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0).设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,x,y),设 BC1与平面 A1BD 所成的角为,
11、n n 所以 n n 所以-解得 -所以 n=(1,-1,-1),则 cos n 所以 sin 所以 cos -()答案:8 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=BC=2AC=2,D 为 AA1上一点.若二面角 B1-DC-C1的大小为 60,则 AD 的长为 .解析:如图,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B1(0,2,2).9 设 AD=a,则点 D 的坐标为(1,0,a)设平面 B1CD 的法向量为 m=(x,y,z),则 令 z=-1,得 m=(a,1,-1).又平面 C1D
12、C 的一个法向量为(0,1,0),记为 n,则由 cos 60 得 即a 故AD 答案:9 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角 B1-A1C-C1的大小.解:如图建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).设 AC 的中点为 M,连接 BM.BMAC,BMCC1,BM平面 AA1C1C,即 是平面AA1C1C 的一个法向量.设平面 A1B1C 的一个法向量是 n=(x,y,z).n n 令 z=1,解得 x=0,y=1.n=(0,1,1).设法向量 n与 的夹角为,二面
13、角 B1-A1C-C1为,显然 为锐角.cos=|cos|10 解得 二面角B1-A1C-C1的大小为 10四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADAB,AD=AB=AA1=2BC,E 为 DD1的中点,F 为 A1D 的中点.(1)求证:EF平面 A1BC;(2)求直线 EF 与平面 A1CD 所成角 的正弦值.(1)证明E,F 分别是 DD1,DA1的中点,EFA1D1.又 A1D1B1C1BC,EFBC,且 EF平面 A1BC,BC平面 A1BC,EF平面 A1BC.(2)解由题意可知 AB,AD,AA1两两垂直,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴,以 AA1所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设 BC=1,则 A(0,0,0),A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),D1(0,2,2),F(0,1,1),E(0,2,1),故 设平面 A1CD 的法向量 n=(x,y,z),则 取 n=(1,2,2),则 sin=|cosn|故直线 EF 与平面 A1CD 所成角 的正弦值等于