1、课时分层作业(十四)抛物线的标准方程(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1以坐标原点为顶点，直线x1为准线的抛物线的标准方程为()Ay22xBy22xCy24x Dy24xD由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由1，得p2，抛物线的标准方程为y24x，故选D.2当a为任意实数时，直线(a1)xy2a10恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是 ()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2yA直线方程可化为a(x2)xy10，由得P(2,3)，经检验知A正确3过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，x1x23
2、p，则|PQ|等于()A4p B5pC6p D8pA设抛物线的焦点为F，则|PQ|PF|QF|x1x2x1x2p3pp4p.4探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A11.25 cm B5.625 cmC20 cm D10 cmB如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0)，因为A(40，30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm)5已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，
3、则C1的方程是()Ax22y Bx2yCx2y Dx2yA由题意，得F，不妨设A，Bp，SFAB2pp1，p1，即抛物线C1的方程是x22y，故选A.二、填空题6设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.6因为0，所以点F为ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16.7已知抛物线x24y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是_4 由抛物线方程，可知其准线方程为y1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为4.8抛物线xay2(a0)的焦点坐标为_；准线方程为_x抛物线xay2(a0)可
4、化为y2x(a0)当a0时，抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为x.当a0，还是a0)将点代入方程，得p2，所以抛物线方程为y24x.准线方程为x1.由此知双曲线方程中c1，焦点为，(1,0)，点到两焦点距离之差2a1，所以双曲线的标准方程为1.10如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.
5、1 m)?解如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，代入方程解得p，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆的高为h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.能力提升练1点P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A相交B相切C相离 D位置由F确定B如图，抛物线的焦点为F，M为PF的中点，准线是l：x.作PHl于H，交y轴于Q，那么|PF|PH|，且|QH|OF|，作MNy轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|(|OF|PQ|)
6、|PH|PF|，故以PF为直径的圆与y轴相切2已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影为M，点A，则|PA|PM|的最小值是()A.B4 C.D5C设抛物线y22x的焦点为F，则F，又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x，所以|PM|d，又|PA|d|PA|PF|AF|5，所以|PA|PM|.故选C.3如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为_y24x如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|a，则由已知得|BC|2a
7、，由定义得|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，43a8，从而得a，AEFG，即，p2.抛物线方程为y24x.4若抛物线y24x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线xy30的上方，则点P的坐标为_(4,4)设P点的坐标为(x，y)，由已知得1，|PF|x5.故x4，因为点P在直线xy30的上方所以点P的坐标为(4,4)5设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值. 解(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为，即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.