1、6.1 幂函数 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解幂函数的概念，会画出幂函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx 的图象(重点)2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质(难点)3会用几个常见的幂函数性质比较大小(重点、难点)1结合幂函数的图象提升直观想象素养2借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养3通过本节课学习你能解决哪些问题？情境导学探新知 NO.1经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到
2、价格 x 与需求量 y 之间近似地满足关系式 yx0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？知识点1 幂函数的概念一般地，我们把形如_数称为幂函数，其中x是自变量，是_yx常数3 由题意得m1，2n40，所以m1，n2，mn3.1.若 ymx(2n4)是幂函数，则 mn_.知识点 2 幂函数的图象和性质1幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数 yx，yx2，yx3，yx，yx1 的图象如图所示：2幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域_(，0)_值域_(，0)_奇偶性_0，)(0，)R R R R 0，)R 0，)(0，)奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数yxyx2y
3、x3yxyx1单调性在(，)上单调递_在(，0上单调递_在0，)上单调递_在(，)上单调递_在0，)上单调递_在(，0)上单调递_，在(0，)上单调递_定点 _ _ _ _增减增增增减减(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)8 82，所以 3，所以 f(x)x3，f(2)(2)38.2.已知幂函数 f(x)x 的图象经过点(2,8)，则 f(2)_.3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)幂函数 yx 的定义域为 R，与指数也无关()提示
4、(1)由幂函数的一般式 yx(为常数)及图象可知，当 x0时，y0，即图象不经过第四象限(2)yx1 不经过(0,0)点，故错误(3)yx，定义域为0，)，与指数有关，故错误答案(1)(2)(3)合作探究释疑难 NO.2类型1 幂函数的概念 类型2 比较大小 类型3 幂函数的图象及应用 类型4 幂函数性质的综合应用 类型 1 幂函数的概念【例 1】(1)下列函数：yx3；y12x；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为()A1B2 C3D4(2)已知 y(m22m2)xm222n3 是幂函数，求 m，n 的值(1)B 幂函数有两个(2)解 由题意得m22m21
5、，2n30，解得m3，n32或m1，n32.所以 m3 或 1，n32.1幂函数 yx 满足的三个特征(1)幂 x 前系数为 1；(2)底数只能是自变量 x，指数是常数；(3)项数只有一项2求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为 f(x)x，根据条件求出.根据幂函数的定义，只有符合题意跟进训练1下列函数是幂函数的有_(填序号)yx2x；y2x2；yx；yx21；y1x；yx.110 由题知 2 22 2，12.f(x)x，f(100)1001100 110.2已知幂函数 f(x)x 的图象经过点2，22，则 f(100)_.类型 2 比较大小【例 2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)
6、13与14；(2)231 与351；(3)0.25与 6.25；(4)1.20.6 与 0.30.4；(5)(3)与(2).思路点拨 可以借助幂函数 yx2 的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较解(1)yx 是0，)上的增函数，且1314，1314.(2)yx1 是(，0)上的减函数，且23351.(3)0.25142，6.25 2.5.yx 是0，)上的增函数，且 22.5，2 2.5，即 0.2510.61,0.30.410.41，从而0.30.40，(2)2(2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用
7、奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量跟进训练3比较下列各组中两个数的大小：(1)3，3.1；(2)a1.5，(a1)1.5(a0)；(3)(0.88)，0.89.解(1)因为函数 yx在(0，)内是减函数，所以 33.1.(2)函数 yx1.5 在(0，)内是增函数，又 a0，a1a，所以(a1)1.5a1.5.(3)函数 yx 为偶函数，在0，)上是增函数，所以(0.88)0.88 g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当 x(0,1)时，f(x)0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1
8、,1)，在0，)是增函数(2)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数 yx 1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是()A B C D(1)B(2)B(1)令 a2，b12，c13，d1，正好和题目所给的形式相符合在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选 B.(2)yx 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数 yx 1 的图象可看作由 yx 的图象向下平移一个单位得到的(如选项 A 中的图所示)，将 yx 1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B.类型 4 幂函数性质的综合应用【例 4】已知幂函数 yx3m9(mN*)的图象关
9、于 y 轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a1)y时，x、y 与 0 的大小关系有多少种？提示 0 xy，xy0y.解 函数在(0，)上递减，3m90，解得 m3.又 mN*，m1,2.又函数图象关于 y 轴对称，3m9 为偶数，故 m1.有(a1)32a0 或 0a132a，或 a1032a，解得23a32或 a1.所以 a 的取值范围为(，1)23，32.1本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解2求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出 m 的值或范围；第二步，利用分
10、类讨论的思想，结合函数的图象求出参数 a 的取值范围(，0)(1，)作出函数 yx2 和 yx 的图象(如图所示)，易得 x1.跟进训练5已知 x2x，则 x 的取值范围是_当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 ABC 幂函数是形如 yx的函数，观察四个函数只有 D 中函数不是幂函数1(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是()AyxByx3CyxDy2x21 2 3 4 5 C 函数 yx 是非奇非偶函数，故排除 A、B 选项又 1，故选 C.2函数 yx 的图象是()A B C D1 2 3 4 5 A yx在(0，)上为减函数故 A 正确3下列不等式成立的是()A1312B34322D80 时，幂函数的图象经过(0,0)，(1,1)，在(0，)上图象上升0 时，幂函数的图象经过(1,1)，在(0，)上图象下降点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!