1、基础诊断考点突破基础诊断考点突破第1讲 导数的概念及运算基础诊断考点突破最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数基础诊断考点突破知 识 梳 理1导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)基础诊断考点突破(2)如果一个
2、函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数基础诊断考点突破2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k，切线方程为：f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)基础诊断考点突破3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)f(x)x(是实数)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos xf(x)f(x)exf(x)f(x)ax(a0，a1)f(x)0 x1cos xsin xex
3、axln a基础诊断考点突破f(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln a基础诊断考点突破4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(x)a32axx2，则f(x)
4、3a22x.()基础诊断考点突破解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f(x0)表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错(2)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(2)错(4)f(x)a32axx2x22axa3，f(x)2x2a，(4)错答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)t23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194 B.174 C.154 D.134解析 由题意知，机器人的速度方程为 v(t)s(t)2t3t2，故当t2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)22
5、 322134.答案 D基础诊断考点突破3(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析 因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案 3基础诊断考点突破4(2017豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_解析 y5ex，所求曲线的切线斜率ky|x05e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.答案 5xy20基础诊断考点突破5(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析 由题意可得f(x)3a
6、x21，则f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案 1基础诊断考点突破考点一 导数的计算 【例 1】求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2；(4)ycos xex.基础诊断考点突破解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1xln x1x ex.(2)因为 yx311x2，所以 y(x3)(1)1x2 3x22x3.(3)因为 yx12sin x，所以 yx12sin x x12sin x 112cos x.(4)ycos xexcos x
7、excos xexex2sin xcos xex.基础诊断考点突破规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导基础诊断考点突破【训练1】(1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0等于()Ae2B1Cln 2De(2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_基础诊断考点突破解析(1)f(x)2 017ln x
8、1xx2 018ln x由 f(x0)2 018，得 ln x00，则 x01.(2)f(x)aln xx1x a(1ln x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案(1)B(2)3基础诊断考点突破考点二 导数的几何意义(多维探究)命题角度一 求切线方程【例21】(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_(2)(2017南昌质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10基础诊断考点突破解析(1
9、)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.基础诊断考点突破(2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，解得 x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.答案(1)2xy0(2)B基础诊断考点突破命题角度二 求切点坐标【例22】(2017西安调研)设曲线yex在点(0,1)处的切线与 曲 线 y (
10、x0)上 点 P 处 的 切 线 垂 直，则 P 的 坐 标 为_基础诊断考点突破解析 由 yex，知曲线 yex 在点(0,1)处的切线斜率 k1e01.设 P(m，n)，又 y1x(x0)的导数 y1x2，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2.依题意 k1k21，所以 m1，从而 n1.则点 P 的坐标为(1,1)答案(1,1)基础诊断考点突破命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例 23】已知直线 y12xb 与曲线 y12xln x 相切，则 b的值为()A2 B1 C12 D1基础诊断考点突破解析 设切点坐标为 P(x0，y0)，由 y12xln x，得 y
11、121x.y|xx0121x0，依题意，121x012，x01，则 P1，12，又切点 P1，12 在直线 y12xb 上，故1212b，得 b1.答案 B基础诊断考点突破规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标(3)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.基础诊断考点突破【训练2】(1)若曲线yxln x上点P处的切线
12、平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(2)函数f(x)ln xax的图像存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_基础诊断考点突破解析(1)由题意得 yln xx1x1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)(2)函数 f(x)ln xax 的图像存在与直线 2xy0 平行的切线，即f(x)2 在(0，)上有解，而 f(x)1xa，即1xa 在(0，)上有解，a21x，因为 a0，所以 21x2，所以 a 的取值范围是(，2)答案(1)(e，e)(2)(，2)基础诊断考点突破思想方法
13、1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意交换的等价性3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点基础诊断考点突破易错防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.