1、贵港高中2020年秋季期期中教学质量监测高二理科数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据原命题为：若，则；则其逆否命题为若，则；即可得到结果.【详解】命题“若，则”的逆否命题是：若，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了原命题和逆否命题之间的关系，属于基础题,2. 命题“”的否定是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，
2、所以，命题“”的否定是，选C.考点：全称命题与存在性命题.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的
3、充要条件4. 已知正数m满足，则椭圆的焦点坐标为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】解二次方程求出m即可求得椭圆的方程，进而求得椭圆的焦点坐标.【详解】因为正数m满足，即，解得，所以椭圆方程为，其中，所以椭圆的焦点坐标为.故选：B【点睛】本题考查椭圆的焦点，属于基础题.5. 某学校从编号依次为，的个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个容量为样本，已知样本中的有个编号为，则样本中最大的编号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】确定组距，再确定已知编号为第几组第几个数据，按系统抽样的定义（等差数列的通项公式）求出最大编号【详解】依题意知系统抽样的
4、组距为，为第二组的编号，即，所以第一组抽取的编号为，则样本中最大的编号即第20组的编号为:.故选：C.6. 如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出样本数据的中心，依次代入选项中的回归方程.【详解】，样本数据的中心为，将它依次代四个选项，只有B符合，与之间的回归直线方程是.【点睛】本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B
5、. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.8. 如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2.向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：大正方形的面积是，所以大正方形的边长为，直角三角形的较短边长为2，所以
6、较长边为，所以直角三角形的面积为，所以小正方形的面积为，所以飞镖落在小正方形内的概率为考点：本小题主要考查利用几何概型求概率.点评：利用几何概型求概率分与长度、面积、体积有关几种类型，要找清楚各自的比例.9. 的展开式中x3y3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式
7、定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.10. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. 已知函数，函数，
8、对时，总使得，则的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】求出的值域和的值域，由可得结论、【详解】由已知得：函数，在上的值域为，所以，解得.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查方程有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，值域为，值域为（1）若，使得成立，故；（2）若，使得成立，故；12. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得
9、所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，求_【答案】【解析】【分析】在展开式中令可得系数和【详解】令得.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为，则有：，奇数项系数和为，偶数项系数和为14. 如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_.【答案】【解析】【
10、分析】根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.【详解】由于，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.15. 已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为 _ .【答案】【解析】由点M是AB的中点,则设M(1+m,1+n),N(1m,1n)，则 ， ，两式相减得： ，整理得：，直线AB的斜率 ,则直线l的方程方程y+1= (x1)，整理得：3x4y7=0，16. 给出如下四个命题：把二进制数化为十进制数，结果为；将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变，方差不变；从装有完全相同的个红球和个黄球的
11、盒子中任取个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立；若“”为假命题，则、均为假命题.其中正确的命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据二进制与十进制的关系转换后可判断，利用均值与方差的计算公式可判断，根据事件的关系判断，根据“且”的真假判断【详解】对于正确;对于，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，均值改变，方差不变，错误；对于，从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，“至多一个红球”为“一红一白或两白”，“都是红球”为“两红”，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，正确;对于，若“”为假命题，则，至少有一个为假
12、命题，则不正确；答案:.【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，解题时需对每个命题进行判断，要求掌握相应的知识，考查的知识点较多，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比
13、直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1) ，；(2) ，.【解析】【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18. 已知p：x26x160，q：x24x4m20(m0)(1)若p为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式可得实数的取值范围（
14、2）将题中的充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结果【详解】(1)由x26x160，得x2-6x-160，解得2x8，所以当p为真时，实数x的取值范围为(2)由x24x4m20(m0)，解得2mx2m(m0)，p是q成立的充分不必要条件，2，82m，2m， (两等号不同时成立)，解得m6.所以实数m的取值范围是.【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画出数轴，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式
15、是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象19. 已知平面内两定点，动点满足.（1）求动点轨迹的方程；（2）若直线与曲线C交于不同的两点、，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；（2）设，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，利用弦长公式求弦长【详解】（1）由椭圆的定义知，点的轨迹为椭圆，其中，所以所求动点的轨迹的方程为.（2）设，联立直线与椭圆的方程消整理得：，所以，.【点睛】方法点睛：求直线与椭圆相交弦长的两种方法：（1）设交点为，直线方程为，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，然后由利用弦长公式求弦长（2）直线方程
16、与椭圆方程联立方程组，解得交点坐标，由两点间距离公式得弦长20. 某个体服装店经营各种服装，在某周内获纯利润(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如表：345678966697381899091（1）求，；（2）若与线性相关，请求纯利润与每天销售件数间的回归直线方程.参考数据及公式：，.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据均值定义计算均值；（2）根据回归方程的系数公式计算系数后可得回归方程【详解】（1），(2)设回归直线方程为.又，.所以回归直线方程为.【点睛】本题考查求线性回归直线方程，解题方法是根据已知数据按照回归方程的系数公式计算出系数考查了学生的数据处理能力
17、，运算求解能力21. 随机抽取某中学甲乙两个班级各名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得的数据如下:甲:乙:（1）根据上述的数据作出茎叶图表示；（2）判断哪个班级的平均身高较高，并求出甲班的方差；（3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，则身高176cm的同学被抽中的概率是多少?【答案】（1）答案见解析；（2）乙班平均身高高；170；（3）【解析】【分析】（1）根据所提供数据，将前两位数作为茎，最后一个数作为叶，可得到茎叶图；（2）由均值公式与方差公式计算均值和方差，比较均值可得；（3）身高不低于173cm的同学有5人，其中1人身高为176cm，可由排列珠思想求出任取
18、2人的方法数，以及身高176cm的同学被抽中的事件数，从而计算出概率【详解】（1）根据所提供数据，将前两位数作为茎，最后一个数作为叶，可得到茎叶图如下图所示；（2)根据均值与方差的公式计算可得:甲170，乙171.1，甲57.2所以乙班平均身高高;（3) 设身高为的同学被抽中的事件为；乙班名同学中有5名身高不低于的同学，由此求得身高为的同学被抽中的概率.【点睛】方法点睛：求古典概型概率的关键是求出基本事件的总数及所求概率事件包含的基本事件的个数方法有两种：（1）用列举法写出事件空间中的所有的基本事件，从而得出所求概率事件事件含有的基本事件，得事件个数；（2）用排列组合的思想求出基本事件的总数，
19、及所求概率事件包含的基本事件的个数22. 已知，分别是椭圆长轴的左，右顶点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴的上方，满足（1）求点的坐标；（2）若线段上一点到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由已知可得,设点,则联立和椭圆方程可解得点坐标;(2)由(1)可求出直线方程,设点,利用点到直线的距离等于可求出,再利用两点距离公式列式求出最小值即可.【详解】(1)由已知可得,设点,则,结合,可得,即或,又点位于轴上方,此时,点坐标为.(2)由(1)可知,直线方程为,设点,又点到直线的距离等于,则有,解得,故,椭圆上任意一点到点的距离,当时,取得最小值.【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查两点及点到直线的距离公式,考查学生的计算分析能力,难度不大.