1、第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数 4.3.2 对数的运算 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解对数的运算性质(重点)2能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数(难点)3会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养2通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.情 景 导 学 探 新 知 问题：(1)计算 log24，log28 及 log232 的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？(2)计算 lg 10，lg 100，lg 1 000 及 lg 104 的值，你能发现什么规律？提示：(1)log242，log283，log23
2、25，log24log28log2(48)log232；log232log28log2328 log24；log232log24log2324 log28.(2)lg 101，lg 100lg 1022，lg 1 000lg 1033，lg 1044，可见 lg 10nnlg 10n.1对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)；(2)logaMN；(3)logaMn(nR)nlogaMlogaMlogaNlogaMlogaN思考：当 M0，N0 时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN 是否成立？提示：不一定2对数的换
3、底公式若 a0 且 a1；c0 且 c1；b0，则有 logab .logcblogca1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)log2x22log2x.()(2)loga(2)(3)loga(2)loga(3)()(3)logaMlogaNloga(MN)()(4)logx2 1log2x.()答案(1)(2)(3)(4)2计算 log84log82 等于()Alog86 B8C6D1D log84log82log881.3计算 log510log52 等于()Alog58Blg 5C1D2C log510log52log551.4logablogbclogca_.1 logablog
4、bclogcalg blg alg clg blg alg c1.合 作 探 究 释 疑 难 对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)12lg 324943lg 8lg 245；(2)lg 5223lg 8lg 5lg 20(lg 2)2；(3)lg 2lg 3lg 10lg 1.8.解(1)原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5)52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 5 12(lg 2lg 5)12lg 10 12.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5
5、lg 2)2 2(lg 10)2213.(3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8 lg 18102lg 1.8 lg 1.82lg 1.8 12.1利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系 2对于复杂的运算式，可先化简再计算化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数跟进训练1求下列各式的值：(1)lg25lg 2lg 50；(2)23lg 8lg25lg 2lg 50lg 25.解(1)原式lg25(1lg 5)(1lg 5)lg251lg251.(2)23lg 8lg
6、25lg 2lg 50lg 252lg 2lg25lg 2(1lg 5)2lg 5 2(lg 2lg 5)lg2 5lg 2lg 2lg 52lg 5(lg 5lg 2)lg 22lg 5lg 23.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125log425log85)(log1258log254log52)(2)已知log189a,18b5，求log3645(用a，b表示)解(1)(log2125log425log85)(log1258log254log52)(log253log2252log235)(log5323log5222log52)3113 log25(111)log52133
7、 313.(2)18b5，blog185.又log189a，log3645log1845log1836log185log1891log182ab2log189ab2a.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)解 log189a，log183a2.又log185b，log915log1815log189 log183log185log189a2ba a2b2a.1在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式 2常用的公式有：logablogba1，loganbm mn logab，logab1logba等跟进训练2求值：(1)log23log35log516；(
8、2)(log32log92)(log43log83)解(1)原式lg 3lg 2lg 5lg 3lg 16lg 5 lg 16lg 2 4lg 2lg 2 4.(2)原式lg 2lg 3lg 2lg 9 lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3 lg 22lg 3 lg 32lg 2 lg 33lg 2 3lg 22lg 35lg 36lg 2 54.对数运算性质的综合应用 探究问题1若 2a3b，则ab等于多少？提示：设 2a3bt，则 alog2t，blog3t，ablog23.2对数式 logab 与 logba 存在怎样的等量关系？提示：logablogba1，即 logab
9、 1logba.【例 3】已知 3a5bc，且1a1b2，求 c 的值思路点拨 求c的值 解 3a5bc，alog3c，blog5c，1alogc3，1blogc5，1a1blogc15.由logc152得c215，即c 15.1把本例条件变为“3a5b15”，求1a1b的值解 3a5b15，alog315，blog515，1a1blog153log155log15151.2若本例条件改为“若a，b是正数，且3a5bc”，比较3a与5b的大小解 3a5bc，alog3c，blog5c，3a5b3log3c5log5c 3lg clg 3 5lg clg 5 lg c3lg 55lg 3lg 3
10、lg 5 lg clg 125lg 243lg 3lg 50，3a0，a1，x0，nN*，则下列各式：(1)(logax)nnlogax；(2)(logax)nlogaxn；(3)logaxloga1x；(4)n logax1nlogax；(5)logaxn logan x.其中正确的有()A2个 B3个C4个D5个A 根据对数的运算性质logaMnnlogaM(M0，a0，且a1)知(3)与(5)正确2计算log92log43()A4 B2C.12D14D log92log43lg 2lg 9lg 3lg 4 lg 22lg 3 lg 32lg 214.3设10a2，lg 3b，则log26
11、()A.baB.abaCabDabB 10a2，lg 2a，log26lg 6lg 2lg 2lg 3lg 2aba.5计算：(1)log5352log573log57log51.8；(2)log2748log21212log2421.解(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log595log55log572log572log53log572log53log552.(2)原式log2748log212log2 42log22 log271248 422log212 2 log223232.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!