1、基础诊断考点突破第5讲 指数与指数函数基础诊断考点突破最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型基础诊断考点突破知 识 梳 理1根式(1)概念：式子n a叫作，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数(2)性质：(n a)na(a 使n a有意义)；当 n 为奇数时，n ana，当n 为偶数时，n an|a|a，a0，a，a0，m，nN，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是1n am
2、(a0，m，nN，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂(2)有理指数幂的运算性质：aras；(ar)s；(ab)r，其中 a0，b0，r，sQ.没有意义arsarsarbr基础诊断考点突破3指数函数的图像与性质a10a0时，；当x0时，当x0时，在(，)上是在(，)上是(0,1)y10y10y1)的值域是(0，)()基础诊断考点突破解析(1)由于4 444 444，故(1)错(2)(1)4 121，故(2)错(3)由于指数函数解析式为 yax(a0，且 a1)，故 y2x1 不是指数函数，故(3)错(4)由于 x211，又 a1，ax21a.故 yax21(a1)的值域是
3、a，)，(4)错答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2(教材改编)化简(2)6(1)0 的结果为()A9 B7 C10 D9基础诊断考点突破解析 原式(26)1817.答案 B基础诊断考点突破3函数yaxa1(a0，且a1)的图像可能是()基础诊断考点突破解析 函数 yax1a是由函数 yax 的图像向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当 a1 时，01a1，平移距离小于 1，所以 B项错误；当 0a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误，故选 D.答案 D基础诊断考点突破4(2015山东卷)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc
4、BacbCbacDbca解 析 根 据 指 数 函 数 y 0.6x 在 R 上 单 调 递 减 可 得0.61.50.60.61，bac.答案 C基础诊断考点突破5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_解析 由题意知02a1，解得1a0，b0)；(2)278(0.002)10(52)1(2 3)0.基础诊断考点突破解(1)原式ab1.(2)原式278150010521 827500 10(52)14910 510 52011679.基础诊断考点突破规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；
5、运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数基础诊断考点突破【训练 1】化简求值：(1)235022214(0.01)0.5；基础诊断考点突破解(1)原式11449110011423 110116 1101615.(2)原式基础诊断考点突破考点二 指数函数的图像及应用【例2】(1)函数f(x)1e|x|的图像大致是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_基础诊断考点突破解析(1)f(x)1e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|1，f(x)的值域为(，0，因此排除B、C、D
6、，只有A满足(2)曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示，由图像可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案(1)A(2)1,1基础诊断考点突破规律方法(1)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解基础诊断考点突破【训练 2】(1)(2017陕西五校联考)定义运算 aba，ab，b，ab，则函数 f(x)12x 的图像是()(2)方程 2x2x 的解的个数是_基础诊断考点突破解
7、析(1)因为当 x0 时，2x1；当 x0 时，2x1.则 f(x)12x2x，x0，1，x0，图像 A 满足(2)方程的解可看作函数 y2x 和 y2x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案(1)A(2)1基础诊断考点突破考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)【例 3】(1)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73B0.610.62C0.80.11.250.2D1.70.30.93.1(2)已知函数 f(x)13ax24x3.若 a1，求 f(x)的单调区间；若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；若 f(x)的值域是(0
8、，)，求 a 的值基础诊断考点突破(1)解析 A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小 y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，错误故选B.答案 B基础诊断考点突破(2)解 当 a1 时，f(x)13x24x3，令 ux24x3(x2)27.在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y13u在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2
9、，)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)基础诊断考点突破令 h(x)ax24x3，y13h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，因此必有a0，12a164a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有a0.基础诊断考点突破规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，
10、其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论基础诊断考点突破【训练 3】(1)(2015天津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBcabCacbDcb0时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故bac，选B.(2)当x8
11、时，f(x)3，x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8.综上，x(，27答案(1)B(2)(，27基础诊断考点突破思想方法1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较3指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论基础诊断考点突破易错防范1对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域2对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.