1、课时作业42空间向量及其运算一、选择题(每小题5分，共40分)1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表
2、示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案：A2若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案：C3.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.解析：设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b
3、|0，cos，0.答案：A4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc解析：()()c(ab)abc.答案：A5(2014淄博模拟)已知空间四边形ABCD中，M，G分别为BC，CD的中点，则()等于()A. B.C. D.解析：如图所示：()，.答案：A6已在O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一组基底，则()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线DO，A，B，C四点不共面解析：，为空间的一组基底，所以，不共面，但A，B，C三种
4、情况都有可能使，共面答案：D7(2014沈阳调研，4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：()abc.答案：C8如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0 B1C0或1 D任意实数解析：可为下列7个向量：，其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosBAC11，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9在四面体OAB
5、C中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：()()abc.答案：abc10已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_ .解析：A，B，C，D四点共面，mnp，且mnp1.由条件知2x3y4z，(2x)(3y)(4z)1.2x3y4z1.答案：111在空间四边形ABCD中，_.解析：设b，c，d，则dc，db，cb.原式b (dc)d(cb)c(db)0.答案：0三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1
6、中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求与夹角的余弦值解：记a，b，c，则|a|b|c|1，60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos.与夹角的余弦值为.13.如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线证明：设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三点共线14.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解：设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，BA(ca)(a)a2ac，(2)(ca)(bc)(bcabc2ac)；(3)abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.