1、基础诊断考点突破第7讲 函数的图像基础诊断考点突破最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题基础诊断考点突破知 识 梳 理1利用描点法作函数的图像步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线基础诊断考点突破2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换基础诊断考点突破(2)对称变换yf(x)的图像 关于x轴对称y
2、的图像；yf(x)的图像 关于y轴对称y的图像；yf(x)的图像 关于原点对称y的图像；yax(a0，且 a1)的图像 关于直线yx对称y(a0，且a1)的图像f(x)f(x)f(x)logax基础诊断考点突破(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1aa0倍yf(ax)yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的AA0倍yAf(x)(4)翻转变换yf(x)的图像x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y的图像；yf(x)的图像y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y的图像|f(x)|f(|x|)基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展
3、示(1)函数yf(1x)的图像，可由yf(x)的图像向左平移1个单位得到()(2)函数yf(x)的图像关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图像与y|f(x)|的图像相同()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图像关于直线x1对称()基础诊断考点突破解析(1)yf(x)的图像向左平移1个单位得到yf(1x)，故(1)错(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图像不同，故(3
4、)错答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()Af(x)ex1Bf(x)ex1Cf(x)ex1Df(x)ex1解析 依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.答案 D基础诊断考点突破3(2016浙江卷)函数ysin x2的图像是()基础诊断考点突破解析 ysin(x)2sin x2，函数为偶函数，可排除 A 项和 C 项；当 x2时，sin x2sin24 1，排除 B 项，只有 D 满足答案 D基础诊断考点突破4
5、.若函数yf(x)在x2,2的图像如图所示，则当x2,2时，f(x)f(x)_.解析 由于yf(x)的图像关于原点对称f(x)f(x)f(x)f(x)0.答案 0基础诊断考点突破5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析 在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图像，如图所示由图像知当a0时，方程|x|ax只有一个解答案(0，)基础诊断考点突破考点一 作函数的图像 【例 1】作出下列函数的图像：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y2x1x1；(4)yx22|x|1.基础诊断考点突破解(1)先作出 y12x 的图像，保留 y12x 图像中 x0 的部
6、分，再作出 y12x 的图像中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图像，如图实线部分基础诊断考点突破(2)将函数 ylog2x 的图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图像，如图.(3)y2 1x1，故函数图像可由 y1x图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图.基础诊断考点突破(4)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图像，再根据对称性作出(，0)上的图像，得图像如图.基础诊断考点突破规律方法 画函数图像的一般方法(1)直接法当函数解析式(或变形后的
7、解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响基础诊断考点突破【训练1】分别画出下列函数的图像：(1)y|lg x|；(2)ysin|x|.基础诊断考点突破解(1)y|lg x|lg x，x1，lg x，0 x1.函数 y|lg x|的图像，如图.(2)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图像完全相同，又 ysin|x|为偶函数，图像关于 y 轴对称，其图像如图.基础诊断考点突破考点二 函数图像的辨识【例2
8、】(1)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图像大致为()基础诊断考点突破(2)(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图像大致为()基础诊断考点突破解析(1)f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又 f(2)8e2(0,1)，排除选项 A，B.设 g(x)2x2ex，x0，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D
9、.(2)当 x0，4 时，f(x)tan x 4tan2 x，图像不会是直线段，从而排除 A，C.基础诊断考点突破当 x4，34 时，f4 f34 1 5，f2 2 2.2 21 5，f2 0，a1.则函数 g(x)|ax2|的图像是由函数 yax 的图像向下平移 2 个单位，然后将 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方得到的，故选 D.答案(1)B(2)D基础诊断考点突破考点三 函数图像的应用(多维探究)命题角度一 研究函数的零点【例 31】已知 f(x)|lg x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_基础诊断考点突破解析 由 2f2(x)3f(x)10
10、得 f(x)12或 f(x)1作出函数 yf(x)的图像由图像知 y12与 yf(x)的图像有 2 个交点，y1 与 yf(x)的图像有 3 个交点因此函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点有 5 个答案 5基础诊断考点突破命题角度二 求不等式的解集【例 32】函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图像如图所示，那么不等式 fxcos x0.当 x2，4 时，ycos x0.结合 yf(x)，x0,4上的图像知，当 1x2时，fxcos x0.又函数 y fxcos x为偶函数，在4,0上，fxcos x0 的解集为2，1，所以 fxcos x0，lnx，x0 有两个“伙伴点
11、组”，则实数 k 的取值范围是()A(，0)B(0,1)C.0，12D(0，)基础诊断考点突破解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在yf(x)的图像上，且关于坐标原点对称可作出函数yln(x)(x0)的图像，使它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可基础诊断考点突破当直线 ykx1 与 yln x 的图像相切时，设切点为(m，ln m)，又 yln x 的导数为 y1x，则 km1ln m，k1m，解得 m1，k1，可得函数 yln x(x0)的图像过(0，1)点的切线的斜率为 1，结合图像可知 k(0,1)时两函数图像有两个交点答案 B基础诊断考点突破规律方法(1)利用函数的图像研究函数
12、的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解基础诊断考点突破【训练3】(1)(2015全国卷)设函数yf(x)的图像与y2xa的图像关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1 C2 D4(2)已知函数yf(x)
13、的图像是圆x2y22上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)f(x)2x的解集是_基础诊断考点突破解析(1)设(x，y)是函数 yf(x)图像上任意一点，它关于直线yx 的对称点为(y，x)，由 yf(x)的图像与 y2xa 的图像关于直线 yx 对称，可知(y，x)在 y2xa 的图像上，即x2ya，解得 ylog2(x)a，所以 f(2)f(4)log22alog24a1，解得 a2，选 C.(2)由图像可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)x.在同一直角坐标系中分别画出 yf(x)与 yx的图像，由图像可知不等式的解集为(1,0)(1，2答案(1)C(2)(1,0)(
14、1，2基础诊断考点突破思想方法1识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系2用图借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质利用函数的图像，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等基础诊断考点突破易错防范1图像变换是针对自变量 x 而言的，如从 f(2x)的图像到 f(2x1)的图像是向右平移12个单位，先作如下变形 f(2x1)f2x12，可避免出错2明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系3当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.