1、第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 第2课时 指数幂及其运算 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点、难点)2掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值(重点)1.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养2借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 牛顿(Newton 16431727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？牛顿他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，写成a2，a3，a4，所以可将 a，a2，a3，写成
2、a12，a22，a32，将1a，1aa，1aaa，写成a1，a2，a3，”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习问题：(1)amn、amn(a0)写成根式会是怎样的形式？(2)amn、amn的根式形式中a0又如何？提示：(1)amn n am，amn 1amn 1n am(其中a0，m，nN，且n1)(2)若a0，amn、amn不一定有意义，例如(4)12、(4)12无意义，故规定a0.1分数指数幂的意义 正分数指数幂规定：amn (a0，m，nN*，且n1)分数指数幂负分数指数幂规定：amn(a0，m，nN*，且n1)n am1n
3、am分数指数幂 0的分数指数幂0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂意义 没有0思考：在分数指数幂与根式的互化公式amnn am中，为什么必须规定a0?提示：若a0,0的正分数指数幂恒等于0，即n amamn0，无研究价值 若a0.2有理数指数幂的运算性质(1)aras(a0，r，sQ)(2)(ar)s(a0，r，sQ)(3)(ab)r(a0，b0，rQ)3无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂arsarsarbr实数1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)0 的任何指数幂都等于 0.()(2)523 53.()(3)
4、分数指数幂与根式可以相互转化，如4 a2a12.()(4)amn可以理解为mn个 a.()答案(1)(2)(3)(4)2下列运算结果中，正确的是()Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2C(a1)01D(a2)3a6A a2a3a23a5；(a2)3a6(a3)2a6；(a 1)01，若成立，需要满足a1，故选A.3425等于()A25 B5 16 C.415 D5 4B 4255 425 16，故选B.4(m12)4(1)0_.m21(m12)4(1)0m21.合 作 探 究 释 疑 难 根式与分数指数幂的互化【例 1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a(a0)；(2)13x5 x
5、22；(3)4b2323(b0)根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟进训练1将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a33 a2；(2)a4b23 ab2(a0，b0)利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】计算下列各式(式中字母均是正数)：指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.2负指数幂化为正指数幂的倒数.3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.跟进训练2
6、化简求值：指数幂运算中的条件求值 探究问题1.a1a2和a1a2存在怎样的等量关系？提示：a1a2a1a24.2已知 a 1a的值，如何求a1a的值？反之呢？提示：设 a 1am，则两边平方得a1am22；反之若设a1an，则nm22，m n2.即 a 1a n2.【例3】已知a12a124，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.思路点拨 两边平方得aa1的值 两边平方得a2a2的值解(1)将a12a124两边平方，得aa1216，故aa114.(2)将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.1在本例条件不变的条件下，求aa1的值解 令aa1t，则两边平方得a2a2t
7、22，t22194，即t2192，t8 3，即aa18 3.2在本例条件不变的条件下，求a2a2的值解 由上题可知，a2a2(aa1)(aa1)83 14112 3.解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.课 堂 小 结 提 素 养 1掌握2个知识点(1)分数指数幂的意义；(2)分数指数幂的运算性质2掌握2种方法(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”3规避1个易错在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数1把根式a a化成分数指数幂是()D 由题意可知a0，故排除A、B、C选项，选D.2已知x12x125，则x21x的值为()A5B23C25D27B x12x125，xx123，即x21x23.3计算：23502221412(0.01)0.5_.1615 原式1144912110012116 1101615.5求下列各式的值：点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!