1、第2课时分析法课时过关能力提升基础巩固1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案:A2.欲证2-56-7成立,只需证()A.(2-5)2(6-7)2B.(2-6)2(5-7)2C.(2+7)2(5+6)2D.(2-5-6)2(-7)2解析:由分析法知,欲证2-56-7,只需证2+76+5,即证(2+7)2(6+5)2,故选C.答案:C3.要证明3+7bc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)1时,ABC为锐角三角形.证明要证ABC为锐角三角形,只需证A,B,C均为锐
2、角,只需证tan A,tan B,tan C均为正.因为tan Atan B1,且A+B0,且tan B0.又因为tan C=tan180-(A+B)=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-10,所以A,B,C均为锐角,即ABC为锐角三角形.7.已知a,b,m是正实数,且ab,求证:aba+mb+m.证明由a,b,m是正实数,故要证aba+mb+m,只需证a(b+m)b(a+m),只需证ab+amab+bm,只需证am0,所以只需证ab.由条件知ab成立,故原不等式成立.8.设|a|1,|b|1,求证:a+b1+ab1.证明要证a+b1+ab1,只需证|a+b|1+ab|,只
3、需证(a+b)2(1+ab)2,只需证a2+2ab+b21+2ab+a2b2,只需证a2-a2b2+b2-10.当a21,b21,即|a|1,|b|a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)证明方法一(分析法):要证a3+b3a2b+ab2成立,即证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立.又因为a+b0,所以只需证a2-ab+b2ab成立,即证a2-2ab+b20成立,即证(a-b)20成立.而依题设ab,则(a-b)20显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):aba-b0(a-b)20a2-2ab+b20a2-ab+b2ab.注意到a,b(0,+),a+b
4、0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b).所以a3+b3a2b+ab2.能力提升1.若a0,P=a+a+7,Q=a+3+a+4,则P,Q的大小关系是()A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定解析:要比较P,Q的大小,只需比较P2=2a+7+2a2+7a与Q2=2a+7+2a2+7a+12的大小,只需比较a2+7a与a2+7a+12的大小,显然前者小.答案:C2.要证a2+b2-1-a2b20,只需证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0解析:a2+b2-1-a2b20(a2-1)
5、(b2-1)0,故选D.答案:D3.已知a,b,(0,+),且1a+9b=1,则使得a+b恒成立的的取值范围是.解析:a,b(0,+),且1a+9b=1,a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba10+29=16,当且仅当b=3a时等号成立.a+b的最小值为16.要使a+b恒成立,只需16成立,故00,xx2+3x+1a恒成立,则a的取值范围是.解析:当x0时,xx2+3x+1=1x+1x+312+3=15(当且仅当x=1时,取等号).要使xx2+3x+1a恒成立,只需15a即可.故a15.答案:15,+5.已知a0,1b-1a1.求证:1+a11-b.证明要证1+a11-b,只需证1+
6、a11-b,只需证(1+a)(1-b)1(1-b0),即1-b+a-ab1,所以a-bab.只需证a-bab1,即1b-1a1.由已知a0,1b-1a1成立,所以1+a11-b成立.6.已知a0,用分析法求证:a2+1a2-2a+1a-2.证明要证a2+1a2-2a+1a-2,只需证a2+1a2+2a+1a+2.又a0,故只需证a2+1a2+22a+1a+22,即要证a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2,只需证2a2+1a22a+1a,只需证4a2+1a22a2+2+1a2,即a2+1a22.而此不等式显然成立,故原不等式成立.7.已知2tan A=3tan B.
7、求证:tan(A-B)=sin2B5-cos2B.分析:观察条件与结论,结论中出现二倍角,可先把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A,此时将等式中的常数2化为2(sin2B+cos2B),可以发现等式中两边是关于sin B与cos B的二次式,再逆用公式tan B=sinBcosB将弦化为切即可完成证明.证明因为2tan A=3tan B,所以tan A=32tan B.要证tan(A-B)=sin2B5-cos2B,只需证tanA-tanB1+tanAtanB=2sinBcosB5-(1-2sin2B),只需证12tanB1+32tan2B=2sinBcosB4+2sin2B,即证tanB2+3tan2B=sinBcosB2+sin2B,只需证tan B(2+sin2B)=(2+3tan2B)sin Bcos B,只需证tan B(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sin Bcos B,只需证tan B2+3sin2Bcos2B=(2+3tan2B)sinBcosBcos2B,即证tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B.因为tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B显然成立,所以tan(A-B)=sin2B5-cos2B成立.