1、12掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法 21(0)3 1A 7/B 6/C 5/D 8/.S ttttSt 一个物体的运动方程为，其中 的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是米 秒米 秒米 秒米 秒 21353C.5/S ttS，则物体在 秒末的瞬时速度为 米解秒析：故选214 1A(0)B()21C(1)D(2)2.(2010)yxx 函数的单调增区间为，青，岛模拟22221148.011180421()2yxyxyxxxxyxxx 由，得令，即，解得，所以函数在，解析：
2、上递增3.R内接于半径为 的半圆的周长最大的矩形的边长分别是 222222222(0)2(2)2(2)(0)2 550.55xRxxRyxRxxyxRRxyxRRxR 如图，设矩形的一边长为，则另一边长为，所以矩形的周长，所以 令，得，此时解析：2()(/)124200550000200 4.xPPxxRx某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量吨 与每吨产品的价格吨 元 之间的函数关系为，且生产 吨的成本为元，则该厂每月生产吨产品才能使利润达到最大，最大利润是万元2321(24200)500002005200312400050000.53240000200.515xyyPxRxxxxxyxx
3、设生产 吨产品，利润为 元，则令，得所以当每月生产产品时，利润达到最大，最大利润是解析：吨万元0,00sin(0)0(0)2A(0)5 B()66 4C().D()4 33 2ABCDAByxxCDxD xxx 设矩形的、两点在的图象上，、两点在 轴上，且，欲使矩形面积最大，则 的取值范围是，0,0,00000000000000000(0)(sin)2sin(2)sin(0)2cos2sin2cos2sin(2)cos.23()2sincos1066363()2sin4D xABCDCxA xxCDxADxS xxxxSxxxxxxxxSS 解析：因为，又为矩形，由对称性可知，所以，所以矩形的
4、面积，则由，02cos20.42440().6 4BSx 可知在，有根，即为其最大值点故选，()()()()2)113(其解题的程序：读题 文字语言建模 数学语言求解 数学应用反馈 检验作答注意事项：函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；在函数定义域利用导数解决生活中的优化问内只有一个极值，则该极值就是题可归结为求函数的最值问题所求的最大 小 值 12 32求参数的取值范围多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方
5、法，建立关于字母参数的不近几年高等关系用导数方法证明不等式其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论与几何图形相关的最值问题根据几何知识建考中和导立函数关数有关的综合题主要有以系，然后用导数方法下几类求最值 231ln.211e221.31.f xxxf xxf xx已知函数求函数在区间，上的值域；求证：时，例题型一利用导数证明不等式 2maxmin2111e01ee1e11221 e1e122fxxxfxxfxfxffxffx由已知，当，时，因此在，上为增函数故，因而在区间，上的值域为，解析：3322223221ln3321112210(1)110(1)61210ln
6、.23F xfxxxxxxxxFxxxxxxFxF xFF xxF xxxx 证明：令，因为 ，所以，故在，上为减函数又，即在，上的最大值小于零，故 时，恒成立，即“”有关 超越型不等式 的证明，构造函数，应用导数是常用证评析：明方法 31212.11,1120)1(f xxxxxf xf xaabyf xabf a 已知函数设、，求证：；设，如果过点，可作曲线的三条切线，证明：变式：2maxmin112maxm2in31.330 1)033333()0(10.33332 3110()3932 3().391,14 319f xfxxfxxxfxxfxxf xf xf xffxfff xff
7、xfxxx 求函数的导数，令，得，当，时，；当，时，；当，时，又证明：所以，故原不等，又，式成立 2323323222()312.()312.()23023666yfxM tf tyf tftxtytxtabtbtatabyfxtatabg ttatabg ttatt tatg tg t曲线在点，处的切线方程为：，即如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点，可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当 变化时，变化情况如下表：000g tabbf ag t由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；t(-，0)0(0，a)a(a，+)g(t)+0-0+g(t)极大值a+b极
8、小值b-f(a)3000200020()000aabg tttg tabf ag tttag tabyfxabg tbf aabf a 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过点，可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力和化归与转化思想的灵活运用解此题的关键是将原问题等评析：价转化 2511ln)5010 2122109.2.122.yxxxyxaxttxxyyf xxyx 受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡现需要对某一景点
9、进行改造升级，提高旅游增加值经过市场调查，旅游增加值 万元与投入 万元之间满足：，其中 为大于的常数当时，求的解析式和投入 的取值范围；求旅游增加值 取得最大值时对应的例的值题型二利润最大问题 22109.25111010ln19.212(65010051ln.5010010112621.2122211xyaaxxfxxxtttxxttxt解析：即投入 的取值范围因为当时，即，解得，所以因为且是，所以 25115150150.505050500501()6,5006,506,50(50)050)50)520fxxxxxxfxxxxfxxxxfxfxfxxfxfxfxx 对求导，得令，得或舍去
10、当时，且在上连续，因此，在上是增函数；当，时，且在，上连续因此，在，上是减函解析：数所以为极大值点5012121 2550(212 441225650()214421tttttttt 当，即，时，投入改造时取得最大增加值；当解析：万元万，即，时，投入改造时取得最大元增加值评析：收益问题备受人们的关注，它与数学密不可分本例注重知识迁移，通过问题的解决，培养运用导数的意识和能力 232()5()05.130023001()33()2.ttttxxxx 某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告费，若每年投入广告费 百万 元，则可增加销售额约为百万元，若该公司将当年的广告费控制在万元之内
11、，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得增加的收益最大？现该公司准备共投入万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的变销售额约为百万元式()请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？注：收益销售额投入 222()()5424(031)422tf tf tttttttttf t 解设投入 百万元 的广告费后增加的收益为百万元，则有所以当百万元时，取得最析：即投入 百万元的广告费时，该公司由此获得的大值 百万元收益最大 23232()3()1(3)35 333143(03)4.302(2)2xxg xg xxxxxxxxxgxxgxxx 设用于技术改造的资
12、金为百万元，则用于广告促销的资金为百万元，又设由此获得增加的收益是，则有，所以令，解舍去解或：得析，020230.0,22,3221xgxxgxg xxg x又当时，当时，故在上是增函数，在上是减函数所以当时，取最大值，即将 百万元用于技术改造，百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收解析：益最大 2 1.3.5 0.5.12ABmOCmEFABm某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽，渠深，水面距为求截面图中水面的宽度；如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的例土最少？题型三用料最少问题 2232()2
13、11,0323()321()22 63613.xp yBpxyFEFaam建立坐标系，设抛物线方程为，以 点坐标代入抛物线方程得，所以抛物线的方程为把 点的坐标，代入抛物线的方程得，所以水面宽解析：2221233)()(0)2233.3322333()2211310().222313 2(2).41222M tttMyxyxMtyt xttyxtyxtStttt 设抛物线上的一点，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过点与抛物线相切的切线挖土，由得，所以过点的切线的斜率为，所以切线的方程为，当时，；当时，所以解析：当且仅当截面的面积2022.2ttm，且 ，即时，截面的面积
14、最小，此时下底的边长为导数作为一个工具在解应用题时具有非常重要的作用，复习中应将导数的应用提升一个高度本例将实际问题与抛物线、导数的几何意义结合考查，有助于训练学生思维和创评析：新意识 3()(/)13812800080(0120)100140/3.2yxyxxx统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 升 关于行驶速度 千米 小时的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距千米当汽车以千米 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为变式多少升？3401002.54013(40408)2.517.51280008017.4
15、0/51x 当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油升故当汽车以千米 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油解析：为升 32/13100(8)128000180015(0120)12804028xh xh xxxxxxx解析：当速度为 千米 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得：，33228080080(0120/11)640640080.0,80080,1200808011.25.0,120.25xxh xxxxh xxxh xh xxh xh xxh xhh x则令，得当时，是减函数；当时，是增函数所以解析：以千米 小时，当时，取到极小值因为在上只有一个极小值，所以它
16、是最小值故当汽车的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最为少，升 321212()21.3121,1431,1.3f xaxbxcxdabcdxf xabcdxxxf xf x R设函数、的图象关于原点对称，且时取极小值求、的值；当时，图象上是否存在两点，使过此两点处的切线互相垂直，试证明你的结论；、，求证：备选例题 32322320003.21 3(1)0301322(1)133101031f xfxf xaxbxcxdaxbxcxdbxdbdf xaxcxfxaxcxfxabcfacafaccd 因为的图象关于原点对称，所以，所以，所以解析：所恒成立，所以，所以，因为时，以，的极小值为，所，即
17、，以解得.1122123221122222122212122212()()1,1111131.(1)(1)1.*11111010(1)(1)20*A xyB xyxxf xxxfxxkxkxxxxxxxxx 假设存在两点，其中、，且过此两点的切线相互垂直，由知，则知，即又因为，所以，所以，这与式矛解析：所以不存在这样的两点使盾结论成立 2maxmin121221.01(1)(1)01,101,12211.3321,11,13224.3333fxxfxxxfxxfxf xf xff xfxf xxf xf xf xf x 由知，令，得，或，时，时，所以在为减函数，且；所以当时解析：所以，结，所以
18、时，论成立123应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点(15)23xxpx xx某工厂生产销售 万件某产品，销售每万件获利万元，则该厂生产销售多少万件该产品获利最大？生产销售多少件获利最小？322322max32(15)3532363201332363202.12023026.14552552xL xL xpxx x xxxL xxxL xxxx xxL xxxL xxxx xL xxxL xxL xL xLLLL xL 极大值设生产销售 万件产品获利
19、万元，则当时，；当时，令，得而时，当时，所错解：以又，故，min14.55214L xL答：当生产销售 万件时，获利最大，为万元；生产销售 万件时，获利最小，为 万元 123x 分段函数最值分析应分段求解，再综合比较，本题解法忽视了这一点极值分析应注意，导数为零是连续可导函数取极值的必要条件，而该函数在处并不可导，也可能错形解分析：成极值点 32232232(15)133236.02.3532360 xL xL xpxx x xxxL xxxL xxxL xxxL xxxL xxxxL xL x 设生产销售 万件该产品获利万元，则当时，由，得当时，则当 变化时，及的变化情况正解：如下表：maxmin2632.145555232255232.L xLL xLLLL xLL xL极大值极小值答：当工厂生产销售 万件时，获利最大，为万元；生产销售 万件时，获利最所以，又小，为，所以，万元x1,2)2(2,3)3(3,5L(x)+0-无+L(x)极大值极小值
