1、4.1 指数第4章 指数与对数 学 习 任 务核 心 素 养1理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点)2掌握有理数指数幂的运算法则(重点)3了解实数指数幂的意义.1借助根式的性质对根式运算，提升学生的数学运算核心素养2通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养3借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.情境导学探新知 NO.1我们已经知道，12，122，123，是正整数指数幂，它们的值分别为12，14，18，.那么，12，12，12的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数为此，我们需要先学习根式的知识知识
2、点1 基本概念1平方根与立方根的概念如果x2a，那么x称为a的_；如果x3a，那么x称为a的_根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有_个，它们互为相反数，一个数的立方根_平方根立方根2只有一个2a 的 n 次方根(1)定义：一般地，xna(n1，nN*)，那么称 x 为 a 的_，式子n a叫作根式，其中 n 叫作_，a 叫作_(2)几个规定：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_，负数的 n 次方根是一个_，这时，a 的 n 次方根只有一个，记作 xn a；n次方根根指数被开方数正数负数当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有_个，它们互为_，这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号
3、n a表示，负的 n 次方根用符号n a表示，它们可以合并写成n a(a0)的形式；0 的 n 次方根等于_(无论 n 为奇数，还是为偶数)两相反数01.3 8是根式吗？根式一定是无理式吗？提示 3 8是根式，根式不一定是无理式1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)16 的四次方根为 2.()(2)424.()(3)4 162.()提示(1)16 的四次方根有两个，是2；(2)42|4|4；(3)4 16没意义答案(1)(2)(3)知识点2 根式的性质(1)n 0_(nN*，且n1)；(2)(n an)a(n为大于1的奇数)；(3)(n an)|a|_，a0，_，a1，a使得n a有
4、意义)0aaa2.n ana 对任意实数 a 都成立吗？提示 不都成立当 n 为不小于 3 的正奇数时，a 为任意实数，等式n ana 恒成立当 n 为正偶数时，n an|a|.2.若 n 是偶数，n x1nx1，则 x 的取值范围为_1，)由题意知 x10，x1.知识点3 分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)a_(a0，m，n均为正整数)；(2)a 1a(a0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为_，0的负分数指数幂_，0的0次幂_n am0没有意义没有意义(1)A(2)3 9(1)5 a2a.(2)3 3 323 9.3.(1)5 a2可化为()Aa Ba Ca Da(2)3
5、可化为_知识点 4 有理数指数幂的运算性质(1)asat_；(2)(as)t_；(3)(ab)t_，(其中 s，tQ，a0，b0)astastatbt33 原式(3)2(3)1 33.4.化简(3)2的结果为_合作探究释疑难 NO.2类型1 根式的性质 类型2 根式与分数指数幂的互化 类型3 分数指数幂的运算 类型4 指数幂运算中的条件求值 类型 1 根式的性质【例 1】求下列各式的值(1)3 23；(2)4 32；(3)8 38；(4)a6；(5)x22x1 x26x9，x(3,3)解(1)3 232.(2)4 324 32 3.(3)8 38|3|3.(4)a6 a32|a3|a3，a0，
6、a3，a0.(5)原式 x12 x32|x1|x3|，当3x1 时，原式1x(x3)2x2；当 1x3 时，原式x1(x3)4.因此，原式2x2，3x1，4，1x3.化简根式的依据是什么？应注意什么问题？提示 化简的依据是根式的性质化简时要注意是奇次还是偶次根式另外注意n an与(n a)n 的区别跟进训练1化简求值(1)3.142 3.142；(2)4 mn43 mn3；(3)若 x22x1 y26y90，求 yx.解(1)3.142 3.142|3.14|3.14|2.(2)原式|mn|(mn)2mn，mn，0，m0)；(2)13x5 x22；(3)4b(b0)解(1)原式(2)原式.(3
7、)原式.1根式和分数指数幂互化时应熟练应用 an am和 a 1n am(a0，m，nN*，且 n1)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简2分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用跟进训练2用分数指数幂表示下列各式(1)b3a a2b6(a0，b0)；(2)a4b23 ab2(a0，b0)解(1)b3a a2b6b3a ab31.类型 3 分数指数幂的运算【例 3】(1)计算：0.064780(2)3160.75|0.01|；(2)化简：思路点拨 将各个根
8、式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算解(1)原式(0.43)1(2)4(24)0.75(0.12)0.411 116180.114380.指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算指数的处理：负指数先化为正指数底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示(2)根式运算技巧各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂跟进训练3(1)化简：(a bc)(abc)_.(2)计算：6143 430.00
9、8 1132_.22021212 312 3 32_.(1)ac(2)36.5 5(1)原式abcab0cac.(2)原式254 4(0.3)414 1132524103 936.5.原式 12 12(21)23(223)32 2 21231235.类型 4 指数幂运算中的条件求值【例 4】已知 a a4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.a 与 a 及 a与 a1 之间有怎样的关系？a、a及 aa1 a2a2等于多少？提示 平方关系，乘积为 1.解(1)将 a a4 两边平方，得 aa1216，故 aa114.(2)将 aa114 两边平方，得 a2a22196，故 a2a219
10、4.1(变结论)在本例条件不变的条件下，求 aa1 的值解 令 aa1t，则两边平方得 a2a2t22，t22194，即 t2192，t8 3，即 aa18 3.2(变结论)在本例条件不变的条件下，求 a2a2 的值解 由上题可知，a2a2(aa1)(aa1)8 314112 3.3(变条件)已知 x x 5，求 x2x2.解 将 x x 5，两边平方，得 xx125，则 xx13，两边再平方，得 x2x229，所以 x2x27.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值(2)
11、求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D 由题意知 a0，所以 a aaa a.1把根式 a a化成分数指数幂是()A(a)B(a)CaDa1 2 3 4 5 B 由 x x5 得 xx123，所以x21xxx123.2已知 x x5，则x21x的值为()A5B23C25D271 2 3 4 5 8 52xy52x5y 5x25y 422 8.3设 5x4,5y2，则 52xy_.1 2 3 4 5(1)1x(2)22 (1)原式 x12|x1|1x.(2)(2)22 22.4计算：(1)x22x1_.(x3，则 x26x9|2x|_.回顾本节知识，自我完成以下问题1怎样将根式化成分数指数幂的形式？提示 根指数作分母，字母的指数作分子2怎样进行分数指数幂的运算？提示 运用运算性质求解3怎样判断一个数到底有没有 n 次方根？提示 先考虑被开方数到底是正数还是负数还要分清 n 为奇数或偶数这两种情况点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!