1、1()2()()了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 对多项式函数一般不超过三次 了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件；会用导数求函数的极大值、极小值 对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上的函数的最大值、最小值 对多项式函数一般不超过三次 0000000AB00C00D010.f xxxfxfxf xxfxfxf xxfxfxf x已知函数在点 处连续，下列命题中，正确的是导数为零的点一定是极值点如果在点 附近的左侧，右侧，那么是极小值如果在点 附近的左侧，右侧，那么是极大值如果在点 附近的左侧，右 侧，那么是极大值对极值定义不理解造易错点：成
2、错选C22222222212111010111.B.xxxyxxyxxx 因为，所解以由得，所以，所以-析：故选21A(1)B(1,1)C(1)D)2.(2xyx函数的单调递增区间为，-，+，32393A 2 B 3 C 4 D 53.fxxaxxxa 已知函数在时取得极值，则 等于 23233(3)305.60fxxaxf xxfaa 因为，又在时取得极值，所以，解析：解得 3313,04.f xxx函数 在闭区间上的最大值是，最小值是 233 3(1)(1)01.(3)17(1)3013,0317.fxxxxfxxffff x ，令，得 而 ，解析：最大值是，最小值是，在的，故3240,2
3、5.yxaxa若函数 在内单调递减，则实数 的取值范围为 3220240,23200,2|00|231.40 xxyxaxyxaxayya因为函数 在内单调递减，所以 在内恒成立，解析：所以所以，1()0()0()()2()0 )(1 0()abyfxfxyfxabfxababfxabyfxfxfxababfx对于定义在区间，内连续不间断的函数，由在，内单调递增在，内恒成立，其中，为的单调递增区间；对于定义在区函数的单调性间，内连续不间断的函数，由 在，内恒成立，其中区间，为的单与调其导数的关系递减区间 00000000001_22fxxxxxfxfxyfxxfxfxyfxxxfx极大值极小值
4、极值与极值点：设函数在点及其附近有定义，如果对 附近的异于 的所有点，都有，则称为的极大值，记作，为极大值点反之，若，则称为的极小值，记作，为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为函数极值点若 为可导函数的极值与其导数的关的极值点系，则有 _；反之，不一定成立 00max00min01_2_3yf xIxxIf xyf xf xyf xyf xabab函数的最值：如果在函数 的定义域 内存在，使得对任意的，都有，则称为函数的最大值，记作；反之，若有，则称为函数的最小值，记作最大值和最小值统称为最值；如果函数的最函数 在闭区间，上的图象是的曲线，则该函数在闭区间值与其的关系
5、，导数上一定能够取得最大值与最小值4()()()()()()()ab极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质极大 小 值不一定是最大 小 值，最大小 值也不一定是极大 小 值，极大值不一定比极小值大但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间，内只有一个极值极值与最值的区，那么极大 小 值就别与是最大系小联值 00000()0yf xabf xf xf xf xfxf xf xf xf x【要点指 在，内单调递减；一条导】连续不间断 321.1212)31.(,3f xxaxxaf xf xaR已知函数 ，讨论函数的单调区间；若函数在区间内是减函数，求 的例取值范围题型一函数的单调性与
6、导数 322222222213210303033()333()333()1033f xxaxxfxxaxaaaf xaaaaafxf xaaaxafx RR对 求导，得，当，即时，在 上恒成立，在 上递增；当，即时解析：即在 ，上递增，在，上，递减，在由，得，上递增 22222323331333321212(,)33244010333112010333312222.).aaaaaaag xxaxg xagagaa 由题设得，且，令，由题设知在 内恒小于或等于零方法：方法：，所以即解析：故即 的取值范围是，又故 10(0)()()()()0(0)()0.2()0(.00)0fxfxf xabf
7、xabfxfxxabf xf xfxfxfx或仅是在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件，在，内可导的函数在，上递增 或递减 的充要条件是或对，恒成立，但不恒为已知函数是增函数 或减函数，求参数的取值范围时，应令或恒成立，解出参数的取值范围后检验评析：参数的取值能否使恒等于 若恒等于，则参数的这 00(0)fxfxfx个值应舍去；若不恒等于，则由或恒成立解出的参数的取值范围确定(1)(2)(13)f xxxx变式：求函数 的单调递增区间 2(2)(3)(1)(3)(1)(2)31211.330233(22)32333.fxxxxxxxxxfxxxf x因为 由，得或故解析：是 ，与函数的单
8、调递间，增区33(22)331,2(3)评析本题易错误地作答为递增区间是，误将正值区间或，作：为增区间 23ln(1)10122.33xf xaxxxaf xybyf xb已知 是函数 的一个极值点求；求函数的极大值；若直线 与函数 的图象有 个交点，求 的例取值范围题型二函数的极值与导数 210136 100416121016.121213116ln(1.2)19afxxxaffxxxxxxxfxfxxafxf因为，所以 ，由知，此时，、随 的变化情况如下表：由上表知函数解析：因的此为极大值 1612101213(1)1.2fxxxxxxxfxf xx 由知，此时，、随 的变化情况如解：下表
9、：析(1,1)1(1,3)300极大值极小值 116ln29.f xf极大值为由上表知函数的 2(1,1)1,3(3)130116ln 29332l(32ln 221n 221,16ln 29).3331fxxxfxfxffybyfxbfbf由知，在内单调递增，在内单调递减，在，上单调递增，且当或时，所解析：的取值范以的极大值为，极小值为若直线与函数的图象有 个交点，当且仅当因此，围为评析：(1)运用导数求可导函数yf(x)极值的步骤：先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导函数f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值
10、如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 评析：(2)根据定义，极值点是区间a，b内部的点，不会是区间的端点a、b，且极值必须在区间内的连续点处取得 评析：(3)一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值与极大值没有必然的大小关系如果函数在a，b上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，极大值点与极小值点是交替出现的 0004()000f xabf xababf xxfxxfx若函数在，内有极值，则在，内绝不是单调函数，即在区间，上单调的函数没有极值注意：可导函数的极值点必须是导数为 的点，导
11、数为 的点不一定是极值点可导函数在点 处取得极值的充要条件是，且在 的左侧与右侧的的符号不同，不可导的点也可能是评析：极值点 2 32.f xbb若上例变为：方程 有一解、两个不同解、三个不同解，那么实数 的取值范变式围将如何？32ln 22116ln 2916ln 2932ln 22132ln 22116ln92bbbbb由上表不难解得或时有一解，或时，有两个不同的实数解；时，方程有三个不同的解析：实数解 ln(0)1113213.2f xxaaaf xeef xeaR已知函数，若例，求在，上的最大值和最小值；若在区间，上的最小值是，求实数 的值题型三函数的最大值、最小值与导数 maxmi2
12、2n11ln(0)11101.0,11()()1,()(1)1.0(1)0111()111(1)1af xxxxfxxxxxxfxf xxfxf xffef eeff xfefffexef e当 时，定义域为，由 ，得 时，递减；，递增又，易知解，析：2minmin111101331220131222xafxxexaxxaafxefxfaaaexexaeafxeaefxf eae由，当 时，因为，所以，所以在，上递增于是 ，不成立当 时，而，所以在，上递减，于是 ，所以 ，解析：不成立 min11003()ln().12.eaafxfxaefxfxfxfaaaeea 当-时，在区间，-上，递减
13、，在区间，上，递增，所以，所以综，实数上：得解析评析：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值(2)函数的极值可以有多个，但最大值(最小值)只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值却可以在端点处取得 4()abf xabyf xabf af byf xabf af b一般的，在闭区间，上的连续函数必有最大值与最小值，在区间，内的连续函数不一定有最大值与最小值若函数 在闭区间，上单调递增，则是最小值，是最大值；若函数 在闭区间，上单调递减，则是最大值，是评析：最小值 ()12.,30 2af xxaf x
14、g af xg a已知 是实数，函数求函数的单调区间；设为在区间上的最小值，写出的变式表达式 0)3022000)00300003)31afxaxafxxxxxafxf xaafxxxfxxfxax函数的定义域为，若，解析：故的单调递减则，有单调递增区间，；若，令，区间为，单调递增区间为得，当时，当时，32320 02 3 0692 2 00,20006023322 3().333960,222)6(22af xg afaaaf xaaag aag aaafaaf xg afaaa 若，在上单调递增，所以，若，在，上单调递减，在，上单调递增，所以=-若，在上单调递减，所以综上所述，解析：.23
15、111ln(1).nnnn对任意的正整数，求证：备选例题 323223223ln(1)13132.110)00)00(0)00ln(1)(0)ln(1).1(0)11ln(1)f xxxxxxfxxxxxxfxf xfxf xfxxxxxxxnxnn 令函数，则 所以当，时，所以函数在，上单调递增，又，所以，时，恒有，即 恒成立，故当，时，有 对任意正整数，取，则有证：明231nn所，以结论成立评析：利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题 112034fxfxfxfxfxfxfx求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；令，求出此
16、方程在的定义域内的一切实根；把函数无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，这些点把定义域分成若干个小区间；确定在各小开区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应的小开区间的增减性 21203yfxfxfxfxfxfx求可导函数 的极值的方法：求导数；求方程 的根；检验在每个根左、右的符号，如果根的左侧附近为正，右侧附近为负，则在这个根处取得极大值；如果根的左侧附近为负，右侧附近为正，则在这根处取得极小值 31()24120“”f xabf xabf af bfx求可导函数在闭区间，上的最值的方法：求在，内的极值；将求得的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值
17、注意：利用导数求单调区间时，必须先求定义域；使导函数 的点称为函数的驻点，则可导函数的极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，注意这里的 可导 两字必不可少 12ln3f xxxf xx已知函数，求的单调区间 222212ln311212112.101.210121()(1)21(1)2f xxxxxxxxfxxxxxfxxxfxxf x因为 ，所以 令，得 或令得，所以的增区间为 ，减区间为 解，错：“”“”“”上述错解中忽视了函数的单调区间是定义域的子集的条件，任何性质的讨论都必须在定义域内进行，其次，如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间错解分析：不能用连接，而应用 逗号 或 和 字隔开 222212ln3(0)11212112(1.(0)0)(01)1.001fxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxfx因为 的定义域为，正解：所以的增区间为，减区间为令，得，令得
