1、3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1 从函数观点看一元二次方程第3章 不等式 学 习 任 务核 心 素 养1理解函数零点的概念(重点)2能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养.情境导学探新知 NO.1函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？a0a000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根二次函数 yax2bxc(a0)的零点知识点1 二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数yax2bxc(a0)当函数值取零时_
2、的值，即二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的_，也称为二次函数yax2bxc(a0)的零点自变量x横坐标二次函数一定有零点吗？提示 当二次函数的图象与 x 轴不相交时，二次函数无零点函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与 x 轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的 x 的值，也是函数相应的方程相异的实数根1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)二次函数 yx2 的零点为(0,0)()(2)当 0 时，二次函数有两个相同的零点()(3)二次函数 yax2bxc 中，ac0 时，一元二次方程 ax2bxc0 的根、二次函数 yax2bxc 的图象、二次函数 yax2bxc
3、 的零点之间的关系如下表所示：判别式b24ac000)的根有两个相异的实数根x1,2b b24ac2a有两个相等的实数根 x1,2 b2a没有实数根判别式b24ac000)的图象二次函数 yax2bxc(a0)的零点有两个零点_有一个零点 x_无零点x1,2b b24ac2a b2aC 令 y0 得，x22x10，解得 x1，二次函数 yx22x1 的零点为1.2.二次函数 yx22x1 的零点为()A1B2 C1D2合作探究释疑难 NO.2类型1 求函数的零点 类型2 函数的零点个数的论证与探究 类型3 二次函数的零点分布探究 类型 1 求函数的零点【例 1】求下列函数的零点(1)y3x22
4、x1；(2)yax2xa1(aR)；(3)yax2bxc,其图象如图所示思路点拨(1)直接解出相应方程的根(2)对于二次项的系数 a 分 a0，a0 两类进行讨论，当 a0 时，还要比较两根的大小(3)根据相应函数的图象，找到其与 x 轴的交点的横坐标解(1)由 3x22x10 解得 x11，x213，所以函数 y3x22x1 的零点为 1 和13.(2)()当 a0 时，yx1，由x10 得 x1，所以函数的零点为1.()当 a0 时，由 ax2xa10 得(axa1)(x1)0，解得x1a1a，x21.又a1a(1)2a1a，当 a12时，x1x21，函数有唯一的零点1.当 a12且 a0
5、 时，x1x2，函数有两个零点1 和a1a.综上：当 a0 或12时，函数的零点为1.当 a12且 a0 时，函数有两个零点1 和a1a.(3)函数的图象与 x 轴的交点的横坐标为1 和 3，所以该函数的零点为1 和 3.1求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点2函数的图象与 x 轴交点的横坐标就是函数的零点3求含有参数的函数 yax2bxc 的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数若可以因式分解，则一定存在零点(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨
6、论相应方程的实数根是否相等跟进训练1求下列函数的零点(1)y2x23x2；(2)yax2x1；(3)yax2bxc,其图象如图所示解(1)由 2x23x20 解得 x12，x212，所以函数 y2x23x2 的零点为 2 和12.(2)()当 a0 时，yx1，由x10 得 x1，所以函数的零点为1.()当 a0 时，由 ax2x10 得 14a，当 0，即 a0，即 a14时，由 ax2x10 得 x1,21 14a2a，函数有两个零点1 14a2a和1 14a2a.综上：当 a0 时，函数的零点为1；当 a14时，函数的零点为2；当 a14时，函数有两个零点1 14a2a和1 14a2a；
7、当 a2，求证：函数 y(a2)x22(a2)x4 有两个零点思路点拨 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a2)x22(a2)x40 有两个不相等实数根证明 考察一元二次方程(a2)x22(a2)x40，因为 4(a2)216(a2)4(a2)(a2)，又 a2，所以 0，所以函数 y(a2)x22(a2)x4 有两个零点求函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点的充要条件解(必要性)因为函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点，当 a2 时，方程(a2)x22(a2)x40 无解函数无零点；当 a2 时，因为函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点，所以方程(a2)x22
8、(a2)x40 有实数根所以 4(a2)216(a2)4(a2)(a2)0，即a20，a20或a20，a20，解得 a2 或 a2，又 a2，所以 a2 或 a2，所以函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点，则 a2 或 a2.(充分性)当 a2 或 a2 时，对于方程(a2)x22(a2)x40，4(a2)216(a2)4(a2)(a2)0，所以函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点综上，函数 y(a2)x22(a2)x4 有零点的充要条件是 a2或 a2.二次函数 yax2bxc(a0)的零点的论证对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判别式 b24ac.(1)0 函数 y
9、ax2bxc(a0)有两个零点(2)0 函数 yax2bxc(a0)有一个零点(3)0，函数 yax2xa 有两个零点综上，函数 yax2xa(aR)有零点类型 3 二次函数的零点分布探究【例 3】(1)判断二次函数 yx22x1 在(3，2)是否存在零点；(2)若二次函数 y(a2)x22(a2)x4(a2)的两个零点均为正数，求实数 a 的取值范围思路点拨(1)直接求出函数的零点，再加以判定(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究解(1)由x22x10 得 x11 2，x21 2，因为31 20，x1x22a2a2 20，x1x2 4a20，即a2或a2，a2，所以 a0
10、，x1x20，x1x20 函数 yax2bxc(a0)有两个正零点(2)0，x1x20 函数 yax2bxc(a0)有两个负零点(3)x1x20，1a0，a1a，解得 0a12或12a1，所以 a 的取值范围是 0a12或12a1，1a1，a1 或 a1 或 a0，x1x210，x1x2a2a0，解得 0a12或12a1，所以 a 的取值范围是 0a12或12a1.(2)方程 x2xa2a0 中，14(a2a)(2a1)20，设其两实数根分别为 x1，x2，则x1x21，x1x2a2a，因为函数有两个零点，一个大于 1，另外一个小于 1，所以(x11)(x21)0，即 x1x2(x1x2)10
11、，所以(a2a)111 或 a1 或 a0.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 A 由 x24x50 得 x15 或 x21.1函数 yx24x5 的零点为()A5 和 1 B(5,0)和(1,0)C5D11 2 3 4 5 ABC 当 a0 时，y3 无零点当 a0 时，由 2axa30得 xa32a，所以1a32a 0 时，2aa31，当 aa32a，解得 a0，所以函数零点的个数为 2.3函数 yx22axa21(aR)的零点的个数为_1 2 3 4 5 2 方程 x22x80 的两个根为 x12，x24.因此二次函数 yx22x8 在区间(1,3)内的零点为 2.4二次函数 y
12、x22x8 在区间(1,3)内的零点为_5 1 2 3 4 3,0 由 x22x10 解得 x11 2，x21 2，因为1 2(3，2)，1 2(0,1)，所以 n 的取值集合为3,05函数 yx22x1 的零点在区间(n，n1)(nZ)，则 n 的取值集合为_回顾本节知识，自我完成以下问题1求函数零点的方法是什么？你是如何求函数零点的？提示(1)观察图象看图象与 x 轴交点的横坐标(2)解相应地方程，方程的解即为函数的零点(3)含参函数的零点求解需分类讨论根据相应地方程来求解零点为常用方法2怎样判定二次函数零点的个数提示 论证相应一元二次方程的根的判别式与 0 的大小关系3怎样研究二次函数零点的分布？提示 研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!