1、第4课时用向量方法求空间中的距离课时过关能力提升基础巩固1若O为原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652B.214C.53D.532解析:OP=OA+OB2=2,32,3,PC=OC-OP=-2,-12,-3.|PC|=532.答案:D2已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在内,则点P(-2,1,4)到平面的距离为()A.10B.3C.83D.103解析:PA=(1,2,-4),又平面的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到的距离为|PAn|n|=103.答案:D3已知AB,B
2、C,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.23解析:因为AD=AB+BC+CD,所以|AD|2=|AB+BC+CD|2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2(ABBC+BCCD+ABCD)=22+22+22+2(0+0+0)=12,故|AD|=23.答案:D4若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.66B.63C.36D.33解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法
3、向量为n=(1,1,1),则d=|PAn|n|=33.答案:D5在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()A.2B.22C.23D.24答案:A6已知点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.解析:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则nAB=0,nAC=0,即(x,y,z)(2,-2,1)=0,(x,y,z)(4,0,6)=0.可取n=-32,-1,1.又AD=(-7,-7,7),点D到平面ABC的距离d=|ADn|n|=491717.答案:4917177在长
4、方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=63,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N的距离是_.答案:98已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.解:建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),Ea,a,a2,F0,a2,0.设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则nA1D1=0,nA1E=0,即(x,y,z)(-a,0,0)=0,(x,y,z)0,a,-a2=0,-ax=0,ay-a2z=0.x=0,y=z2
5、,令z=2,得n=(0,1,2).又FD1=0,-a2,a,所求距离d=|FD1n|n|=32a5=3510a.9如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,BCA=90,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,则DEBC.因为BCAC,所以DEAC.又A1D平面ABC,以DE,DC,DA1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,设A1D=t(t0),则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t
6、),所以AC1=(0,3,t),BA1=(-2,-1,t),CB=(2,0,0).由AC1CB=0,知AC1CB,又BA1AC1,从而AC1平面A1BC.(2)解由AC1BA1=-3+t22=0,得t=3.设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),AA1=(0,1,3),AB=(2,2,0),所以nAA1=y+3z=0,nAB=2x+2y=0.设z=1,则n=(3,-3,1),又CC1AA1,所以CC1平面A1AB.所以CC1到平面A1AB的距离可转化为点C1到平面A1AB的距离d,且d=|AC1n|n|=2217.能力提升1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点E是CC1的中点
7、,则点E到直线A1B的距离为()A.433B.26C.25D.32答案:D2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2aB.3aC.23aD.33a解析:建立空间直角坐标系如图.则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a),AB1=(0,a,a),AD1=(-a,0,a),BC1=(-a,0,a),DC1=(0,a,a).设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,则nAB1=a(y+z)=0,nAD1=a(-x+z)=0,得y=-z,x=z.取z=1,则n=(1,-1,1
8、).又AD1BC1,AB1DC1,AD1AB1=A,DC1BC1=C1,平面AB1D1平面BDC1.平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.C1B1=(a,0,0),平面AB1D1的法向量为n=(1,-1,1),d=|C1B1n|n|=|a|3=33a.答案:D3已知二面角-l-为60,动点P,Q分别在平面,内,点P到的距离为3,点Q到的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为()A.2B.2C.23D.4解析:作PM,QN,垂足分别为M,N.分别在平面,内作PEl,QFl,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则MEl,PEM为二面角-l-的平面角.
9、PEM=60.在RtPME中,|PE|=|PM|sin60=3sin60=2,同理|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,|PQ|2=4+|EF|2+16+2PEEF+2PEFQ+2EFFQ=20+|EF|2+224cos 120=12+|EF|2.当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,此时|PQ|=23.答案:C4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC的中点,则M12,12,0.AD1=CD1,MD
10、1即为D1到AC的距离.而|MD1|=62,D1到AC的距离为62.答案:625若向量a=(1,0,2),b=(0,2,1),a,b所在平面的一个法向量为n=(x,y,z),则向量c=(1,21,2)在n上的射影长是.解析:由已知得x+2z=0,2y+z=0,取z=2,则n=(-4,-1,2).则c在n上的射影长为d=|cn|n|=2121=1.答案:16在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离为.解析:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,
11、a).设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则有nDA1=0,nDB=0,即(x,y,z)(a,0,a)=0,(x,y,z)(a,a,0)=0.x+z=0,x+y=0.令x=1,n=(1,-1,-1).点A到平面A1BD的距离d=|DAn|n|=a3=33a.答案:33a7如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;(2)求点A1到平面AED的距离.解:(1)连接BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,即A1BG是A1B与平
12、面ABD所成的角.建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为C.设CA=2a(a0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G2a3,2a3,13.GE=a3,a3,23,BD=(0,-2a,1).GEBD=-23a2+23=0,解得a=1.BA1=(2,-2,2),BG=23,-43,13.cosA1BG=BA1BG|BA1|BG|=143231321=73.(2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则AEED=(-1,1,1)(-1,-1,0)=0,AA1ED=(0,0,2)(-1,
13、-1,0)=0,ED平面AA1E.又ED平面AED,平面AED平面AA1E.又平面AED平面AA1E=AE,点A1在平面AED上的射影K在AE上.设AK=AE(R),则A1K=A1A+AK=(-,-2).由A1KAE=0,得+-2=0,解得=23.A1K=-23,23,-43.|A1K|=263.故点A1到平面AED的距离为263.8如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=23FD=4.沿直线EF将AEF翻折成AEF,使平面AEF平面BEF.(1)求二面角A-FD-C的余弦值;(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使点C与
14、点A重合,求线段FM的长.解:(1)取线段EF的中点H,连接AH.因为AE=AF,H是EF的中点,所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF,且AH平面AEF,所以AH平面BEF.如图,建立空间直角坐标系,则A(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA=(-2,2,22),FD=(6,0,0).设n=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量,所以-2x+2y+22z=0,6x=0.取z=2,则n=(0,-2,2).又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故cos=nm|n|m|=33.所以二面角的余弦值为33.(2)连接CM,设FM=x,则M(4+x,0,0),因为翻折后,C与A重合,所以CM=AM.所以(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(22)2,解得x=214,经检验,此时点N在线段BC上,所以FM=214.