1、导数及其应用类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例1：设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（）a的值;（）函数f(x)的单调区间.解：() ()由()知 变式训练1：设函数，其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）解：当时，令，解得，在，是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须恒成立，即有解此不等式，得这时，是唯一极值 的取值范围是类型二：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题例2：设为实数，函数。（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。解：（1），若
2、，则所以的极大值是，极小值是。（2）函数。由此可知取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也因此曲线与轴仅有一个交点，它在上；当的极小值时，即上时，它的极大值也小于0，与轴仅一个交点，它在上。当时，与轴仅有一个交点。变式训练2：已知函数有三个极值点。证明：；因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根.设则当时， 在上为增函数；当时， 在上为减函数；当时， 在上为增函数，所以在时取极大值,在时取极小值。当或时,最多只有两个不同实根。有三个不同实根, 所以且，即,且，解得且故.类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例3
3、：已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导得当时，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减， 递增。（2），且，解得。变式训练3：设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点; 高&考%资(源#网 wxc解：(I) 函数的定义域为.，高&考%资(源#网 wxc令，则在上递增，在上递减，. 当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时， 时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解高&考%资(源#网 wxc，当时，此时在上有
4、唯一的极小值点.当时，高&考%资(源#网 wxc在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点类型四：含字母时，对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论例4：已知函数且 （I）试用含的代数式表示；（）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m :解：（I）依题意，得（）由（I）得（ 故令，则或 当时， 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，的单调增和，单调减区综上：当时，函数增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区
5、间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为(-1.1-2a)变式训练4：已知是实数，函数（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求函数yf (x)在区间 1，2 上的最小值。解：（1），因为，所以又当时，在处的切线方程为(2) 设最小值为，当时，则是区间1,2上的增函数, 所以； 当时，在时，；在时， 当，即时，； 当，即时，； 当时，.则函数的最小值题型五、恒成立问题例5设函数。(1) 如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2) 若时，恒成立，求的取值范围。解：(1) 设切线斜率为，则 当时，取最小值-4， 又， 所以，所求切线方程为，即 (2)
6、由，解得：或。函数在和上是增函数，在上是减函数。 所以 或 或 解得 变式训练5：已知函数（1）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）若，求证：解：（1） ，令即的增区间为在区间上是增函数， ； ，在区间-1，1上的最大值M为4，最小值N为0，故对任意，有题型六、导数解决不等式问题例6对于函数（1）若函数在处的切线方程为,求的值；（2）设是函数的两个极值点,且,证明：解：（1）由切点为，有 解得 （2）由题，、是方程的两个根，可得两根一正一负，不妨设设；当时，. 所以当时，即.变式训练6：已知函数，证明：题型七、以函数为模型运用导数解决应用问题例7用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状
7、的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为 (m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m变式训练7：某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费（百万元），可增加销售额约为（百万元）. .（1）若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？（2）现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投
8、入技术改进费百万元，可增加销售额约百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.（注：收益销售额成本）解：（1）设投入广告费t百万元，则收益。时，.应投入2百万元广告费，由此获得收益最大。（2）投入广告费百万元，则收益当时，.当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时，公司收益最大。1对于R上可导的函数f(x)，若满足则必有（D）A、B、C、D、2已知a0，函数在上是单调增函数则a的最大值是（D）A、0B、1C、2D、33曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形面积为（A）A、B、C、D、4若函数的递减区间为（1,1），则a的取值范围（A）A、a0B、1a1D、0a15设P为曲线C：上的点
9、，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_6已知为实数,函数.(1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围； (2)若,对任意,不等式恒成立，求的最小值.解：(1).由题意知有实数解. ,即或. 故. (2) 即.,令得. 当时, .故时, 所以,即的最小值为.7已知函数的图像与函数的图象相切，记（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；（2）若关于x的方程F（x）= k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.解：（1）依题意，令，得 列表如下：1+00+增极大值减极小值0增从上表可知处取得极小值 （2）由（1）可知函数作函数的图象，当 的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程8.函数， 其中， 将的最小值记为（1）求的表达式；（2）讨论在区间-1，1内的单调性；(3) 若当时，恒成立，其中为正数，求的取值范围解： (1) ， 当时， 达到其最小值，即； (2）因为，列表如下：由此可见，在区间和单调递增，在区间单调递减；(3) ，所以；既恒成立，所以 ，综合可得k的范围为。 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )