1、101中学2020-2021高二上学期期中一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项.1. 在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.【详解】复数的共轭复数为，其对应的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 直线的倾斜角的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线斜率与倾斜角的关系运算即可得解.【详解】由题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：
2、A.3. 点到直线距离的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点到直线距离公式求得距离，然后由函数的知识得最大值【详解】由题意所求点到直线距离为，当且仅当时等号成立，所以最大值为2故选：D4. 直线与互相垂直，则实数的值是（ ）A. B. C. 或D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由两直线垂直的充要条件计算【详解】由题意，解得或故选：C5. 已知向量，若共面，则=（ ）A. B. C. 或D. 1或0【答案】A【解析】【分析】由空间向量共面的性质运算即可得解.【详解】因为向量，且共面，所以，即，所以，所以.故选：A.6. 如图，是正方体，则与所成角余弦值是（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.【详解】过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，则或其补角即为与所成的角，因为是正方体，不妨设，则，所以在中，.故选：A.7. 如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【详解】如图,取底面ABCD的中心O,连接PA,PC,PO.AC平面DD1B,又PO平面DD1B,ACPO.又O是AC的中点,PA=PC.同理,取B1C与BC1的交点H,易证B1C平面D1C1B,B1CPH.又H是B1C的中点,PB1=PC
4、PA=PB1=PC.同理可证PA1=PC1=PD.又P是BD1的三等分点,PBPD1PB1PD,故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.8. 设复数满足，则的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数对应复平面上的点是以为圆心，为半径的圆，故的最大值即为圆的直径故选【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.9. 通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角.已知则夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在直线上各取两个点，表示出向量，由即可得解.【详解】在
5、直线上取两点：，设，在直线上取两点：，设，因为，所以夹角的余弦值是.故选：A.10. 已知是不同的两点，点，且，则直线与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上三种情况都有可能【答案】C【解析】【分析】根据题意，可知直线与垂直，且点O到直线AB的距离为，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系.【详解】因为，所以点C在圆上，根据圆的对称性，可知C点取圆上的任意点都可以，不妨设，因为，所以在上的投影均为，如图所示：所以有直线与垂直，且到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相交，故选：C.【点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意：（1）
6、判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.二填空题11. 若复数，则_【答案】.【解析】【详解】分析：由复数的除法运算得，进而.详解：由.故答案为1.点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.12. 已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标为_【答案】 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点 ，设D(x，y，z)，则x5，y13，z3，故D(5,13，3)13. 已知圆与直线则圆心的坐标
7、为_，若圆关于直线对称，则_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】由圆的标准方程直接定点圆心坐标，根据圆关于直线对称，由圆心在直线上求解.【详解】因为圆，所以求圆心坐标为：；因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，解得1故答案为：；114. 直线与圆O:相交于两点，当的面积达到最大时，_【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式可得当时，的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解.【详解】由圆可得圆心坐标为 ,半径，将直线的方程化为，因为，所以当即时，的面积达到最大，此时圆心到直线的距离，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为
8、圆心到弦的距离，细心计算即可得解.15. 在正方体中，点是侧面内（不包含边界）的一个动点，且点在棱上运动，则二面角的余弦值的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由线面垂直的判定与性质可得平面即为平面，连接，由二面角的概念可得即为二面角的平面角，求出二面角余弦值的最值即可得解.【详解】连接，交于点，连接，如图，在正方体中，平面，所以，同理，所以平面，所以点在线段上（不含端点），所以平面即为平面，连接，则，所以即为二面角的平面角，当与点重合时，最小，连接，设正方体的棱长为1，则，所以；当与点重合时，最大，；所以二面角的余弦值的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键首先是找到点
9、P的轨迹，再由二面角的概念确定平面角，求出临界值即可得解.三.解答题16. 已知复数是虚数单位）.（1）求；（2）如图，复数，在复平面上的对应点分别是，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：（1），；（2），.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.17. 已知圆的圆心在轴上，且过，两点.（1）求圆的方程；（2）若圆与圆有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由圆经过点，列方程，求得圆心
10、和半径后即可得解；（2）由圆与圆的位置关系可得，解不等式即可得解.【详解】（1）由题意，设，由圆过，两点可得，解得，所以，圆的半径为，所以圆的方程为；（2）由题意，圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有公共点，所以，即，解得.18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，.，为线段的中点，底面，且.点是棱中点，平面与棱相交于点.（1）求证：;（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设为中点，平面，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，得到，进而可得平面，最后由线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量后，由即可得解；（
11、3）连接，转化条件为点是的重心，即可得解.【详解】（1）证明：因为为中点，且，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，平面平面，所以；（2）由（1）可得，因为，所以，且平面，所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，则，设平面的一个法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则；（3）连接，如图，因为平面，所以，由（1）得，所以为的中点，所以点是的重心，由（2）得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系的转化、空间向量的应用，细心计算即可得解.19. 已知圆，是轴上的动点，分别切圆于，两点.（1）若，求切线，的方
12、程；（2）求四边形面积的最小值；（3）若，求直线的方程.【答案】（1），；（2）；（3）或.【解析】分析】（）由直线与圆相切的性质即可得解；（2）转化条件为，求得的最小值即可得解；（3）设，由切线长定理及勾股定理可得，即可得解.【详解】（）圆的圆心为，半径为1，当过的直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，符合题意；当过的直线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，切线方程为；综上，切线，的方程分别为，；（）由题意，四边形面积，当轴时，取得最小值，四边形面积的最小值为；（）由题意，圆心到弦的距离为，设，则，又，解得，或，直线的方程为或【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用直线与
13、圆相切的性质转化条件.20. 已知集合，定义上两点，的距离.（1）当时，以下命题正确的有_（不需证明）：若，则；在中，若，则；在中，若，则;（2）当时，证明中任意三点满足关系；（3）当时，设，其中，.求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；由新定义写出等式的表达式，观察有无；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得点是以
14、为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点根据这3点所在平面分类讨论可得【详解】（1）当时， 若，则，正确；在中，若，则，设，所以而，但不一定成立，错误；在中，若，在中的点坐标，有，但不一定成立，因此不一定成立，从而不一定成立，错误空格处填（2）证明：设，根据绝对值的性质有，所以,（3），所以，当且仅当以上三个等号同时成立，又由已知，又，点是以为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，这125个点这
15、五面内这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥则这个三棱锥的体积最大为，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过，否则还有8个点在平面和上，不合题意，若这三个点在平面或上，不妨设在平面，若在平面在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过，否则剩下的8个点在三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立