1、3.2 基本不等式(a，b0)3.2.2 基本不等式的应用第3章 不等式 abab2学 习 任 务核 心 素 养1熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值(重点)2会利用基本不等式求参数的取值范围(重点)3会用基本不等式求解简单的实际应用题(重点、难点)1由基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.情境导学探新知 NO.1一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a、b 的矩形牧场，现在已有材料能做成 l km 的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？知识点 基本不等式的应用1基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或
2、积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值1.已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A72 B4 C92 D5C ab2，ab2 1.1a4b1a4b ab2522ab b2a 5222ab b2a92，当且仅当2ab b2a，即 b2a 时，等号成立故 y1a4b的最小值为92.2应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点设变量时一般要
3、把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解20 总运费与总存储费用之和y4x400 x 44x1 600 x24x1 600 x160，当且仅当 4x1 600 x，即 x20 时取等号 2.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_.合作探究释疑难 NO.2类型1 利用基本不等式变形求最值 类型2 利用基本不等式求参数取值范围 类型3 利用基本不等式解决实际
4、问题 类型 1 利用基本不等式变形求最值【例 1】(1)已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值；(2)设 ab0，求 a2 1ab1aab的最小值解(1)法一：x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy 1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即 x4，y12 时，上式取等号故当 x4，y12 时，(xy)min16.法二：由1x9y1，得(x1)(y9)9(定值)由1x9y1 可知 x1，y9，xy(x1)(y9)102 x1y91016，当且仅当 x1y93，即 x4，y12 时上式取等号，故当 x4，y12 时，(xy)min16.(2)因为 ab0，所
5、以 ab0，a2ab0，则 a2 1ab1aab(a2ab)1a2ab 1abab2 a2ab1a2ab2 1abab4，当且仅当 a2ab1a2ab且 1abab，即 a 2，b 22 时取等号a2 1ab1aab的最小值为 4.若将本例(1)中条件换为：x0，y0 且 2x8yxy，求 xy 的最小值解 法一：由 2x8yxy0，得 y(x8)2x.x0，y0，x80，y 2xx8，xyx 2xx8x2x1616x8(x8)16x8102x8 16x81018.当且仅当 x8 16x8，即 x12 时，等号成立xy 的最小值是 18.法二：由 2x8yxy0 及 x0，y0，得8x2y1.
6、xy(xy)8x2y8yx 2xy 1028yx 2xy 1018.当且仅当8yx 2xy，即 x2y12 时等号成立xy 的最小值是 18.1基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有 yaxbx(积定)型和 yax(bax)(和定)型2多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围3两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到跟进训练1已知正数 x，y 满足 xy1，则1x4y的最小值是_9 xy1，1x4y(xy)1x4y14yx4xy.x0，y0，yx0，4xy 0，yx4xy 2yx4xy 4，5y
7、x4xy 9.当且仅当xy1，yx4xy，即 x13，y23时等号成立1x4y min9.3 由题意得 y3x22x，2xy2x3x22x 3x232x32x1x 3，当且仅当 xy1 时，等号成立2已知正数 x，y 满足 x22xy30，则 2xy 的最小值是_类型 2 利用基本不等式求参数取值范围【例 2】(1)已知函数 yxax2 的值构成的集合为(，04，)，则 a 的值是()A12B32C1D2(2)已知函数 yx2ax11x1(aR)，若对于任意的 xN*，y3 恒成立，则 a 的取值范围是_(1)C (2)83，(1)由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且
8、仅当 x a时取等号；当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且仅当 x a时取等号，所以22 a0，2 a24，解得 a1.故选 C.(2)对任意 xN*，y3，即x2ax11x13 恒成立，即 ax8x 3.设 zx8x，xN*，则 zx8x4 2，当 x2 2时等号成立，又 x2 时 z6，又 x3 时 z173.a83，故 a 的取值范围是83，.含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化跟进训练3已知不等式(xy)1xay 9
9、对任意的正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为()A2B4 C6D8B 对任意的正实数 x，y，(xy)1xay 1ayxaxy 1a2 a(a1)2(x，y，a0)，当且仅当 y ax 时取等号，所以(xy)1xay的最小值为(a1)2，于是(a1)29 恒成立所以 a4，故选 B.2 依题意得 x2 2xyx(x2y)2(xy)，即x2 2xyxy2(当且仅当 x2y 时取等号)，即x2 2xyxy的最大值为 2.又 x2 2xyxy，因此有 2，即 的最小值为 2.4已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为_类型 3 利用基本不等式解决实际问题【例
10、 3】“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 Qx12(其中推广促销费不能超过 3 万元)已知加工此批农产品还要投入成本 2Q1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为220Q元/件那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润销售额成本推广促销费)解 设该批产品的利润为 y，由题意知 y220Q Q2Q
11、1Q x2Q202Q2Qx202Qx20 4x1x214x1x1，0 x3.214x1x1 212 417，当且仅当 x1 时，上式取“”，当 x1 时，ymax17.即当推广促销费投入 1 万元时，利润最大为 17 万元在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案跟进训练5近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本 y(单位：万元)与日产量 x(单位：吨)之间的函数关系式
12、为 y2x2(154k)x120k8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为 k 万元，除尘后当日产量为 1 吨时，总成本为 142 万元(1)求 k 的值；(2)若每吨产品出厂价为 48 万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解(1)设除尘后的每日生产总成本为 万元，由题意，除尘后 2x2(154k)x120k8kx2x2(153k)x120k8，当日产量为 1 吨时，总成本为 142 万元，代入计算得 k1.(2)由(1)2x212x128，总利润 L48x(2x212x128)36x2x2128(x0)，每吨产品的利润为Lx36
13、2x64x 364x64x 4，当且仅当 x64x，即 x8 时取等号，除尘后日产量为 8 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为 4万元当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D x0，3x1x23x1x2 3，当且仅当 x 33 时取等号，3x1x 2 3，则 33x1x32 3，故选 D.1设 x0，则 33x1x的最大值是()A3 B32 2 C1 D32 31 2 3 4 5 B x2x1x1xx11x1x 1x1x1 1x11213，当且仅当 x1 1x1，即 x2 时，等号成立2已知x2x1x1(x1)在 xt 时取得最小值，则 t 等于()A1 2B2C3D41 2 3 4
14、5 3(多选题)已知 a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则 m的可能取值为()A9B12 C18D241 2 3 4 5 AB 因为 a0，b0，由3a1bma3b，得 m(a3b)3a1b 9ba ab6.又9ba ab62 9612，当且仅当9ba ab，即 a3b 时等号成立，m12，m 的最大值为 12.应选 AB.1 2 3 4 5 2 3 cm2 设两段长分别为 x cm，(12x)cm，则 S 34 x32 3412x32 336x212x2 336x12x222 3.当且仅当 x12x，即 x6 时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为 2 3 cm2.4把长为 12
15、 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是_5 1 2 3 4 5设计用 32 m2 的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为 2 m，则车厢的最大容积是_m3，此时厢高与厢长之和为_m.5 1 2 3 4 16 6 设车厢的长为 b m，高为 a m.由已知得 2b2ab4a32，即 b162aa1，Va162aa1 2216a2a2a1.设 a1t，则 V2202t18t 22022t18t 16，当且仅当 t3，即 a2，b4 时等号成立ab6.回顾本节知识，自我完成以下问题1利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？提示 和
16、定积最大、积定和最小若 x，y 为正数，xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取最大值，若 x，y 为正数，xyP(积为定值)，则当 xy 时，xy 取得最小值2求解应用题的方法与步骤是什么？提示 审题建模(列式)解模作答数学阅读拓视野 NO.4等号的由来相等(equal)是数学中最重要的关系之一等号表示相等的含义等号(Sign of Equality)的出现与方程有关，数学于萌芽时期已有了方程的记载，因此亦有了表示相等关系的方法“方程”的概念早于中国古代已出现，但它是以“列表”(算筹布列)的方法解答，并不需等号，而书写时则以汉字“等”或“等于”表示在 15、16 世纪的英文数学书中，
17、还用单词代表两个量的相等关系例如在当时的一些公式里，常常写着 aequaliter 这个单词，其含义是“相等”1557 年，英国数学家列科尔德，在其论文智慧的磨刀石中说：“为了避免枯燥地重复 isaequalleto(等于)这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段意义更相同了”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“”表示“相等”，“”叫作等号用“”替换单词表示相等是数学上的一个进步由于受当时历史条件的限制，这个符号的推广很缓慢，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用不过，其后的著名人物，如开普勒、伽利略与费马等人常以文字或缩写语如 aequals，aeqantar，ae，esgale 等表示相等；1637 年，数学家笛卡儿在 1637 年出版的几何学一书中，曾用“”表示过“相等”，以“”表示现代“”号之意直到 17 世纪末期，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“”，他还在几何学中用“”表示相似，用“”表示全等由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!