1、专题六 直线与圆锥曲线考情动态分析 直线与二次曲线问题是高中数学的重点内容.它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题.尤其是新课程改革增加了平面向量与导数之后，向量与解析几何、导数与解析几何的融合便成为高考的热点问题之一.这类问题涉及的知识面广，综合性强，题目新颖，灵活多样，解题对能力要求较高. 根据对近几年高考试题的分析，特别是对2005年全国高考16套29份不同数学试卷的分析，可知本专题分值均占全卷的20%25%，且选择题、填空题、解答题均涉及到，是高考的重、热点问题.这一专题在高中数学中占有举足轻重的地位，主要呈现以下几个方面的特点：1.考查
2、直线与圆的有关基本概念、基本方法多以选择题或填空题的形式出现，基本属于中、低档题，有时也分散于解答题之中，特别是近年出现的线性规划、解析几何与平面向量结合等是常考常新的试题.2.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等基础知识，以及处理有关问题的基本技能、基本方法，也常以选择题和填空题形式出现.3.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线与有关知识综合问题常以压轴题或中难题的形式出现，性质、基本概念、基础知识常以新的知识为载体，附以新情景，考查学生综合应用知识灵活解决问题的能力. 因此加强本专题复习十分必要，尤其是要注意把握以下几点：1.深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，特别是知识交汇
3、点要重点把握，提高综合应用知识解决问题的能力.2.提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，特别是对几种曲线各有的特征以及解法之间的相互联系，做到重通法、轻技巧、重思想方法的提炼与升华，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.3.突出抓好重、热点考查内容的复习，如轨迹问题、对称问题、范围问题、最值问题、直线与圆锥曲线位置关系问题、开放性及探索性问题，向量、导数与解析几何综合问题等.4.对基础知识的复习既要全面又要重点突出，对重点支撑学科知识的问题要融会贯通，学会在知识网络交汇点思考问题、解决问题.6.1 直线与圆考点核心整合 本节主要有三部分内容：第一部分包括直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直
4、线的位置关系；第二部分包括简单的线性规划及其实际应用；第三部分包括曲线和方程、圆的方程.1.直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置关系的重要特征数值，在直线方程，判断两直线是否平行、垂直和确定它们的夹角等问题中起着关键作用.2.直线方程的特殊形式及其一般式在解决建立直线方程的问题中具有公式的作用.3.在直角坐标系中，建立了直线的方程后，就可用解析法研究直线之间的平行、垂直、相交等位置关系，以及求两条直线的夹角和交点、点到直线的距离，解决有关对称等问题.4.在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C0或Ax+By+C0. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点，它没有xy项，并且x2、y2的
5、系数相等，而圆的标准方程及参数方程则明确地指明了圆心和半径，并且圆的参数方程还直接指出了圆上点的横、纵坐标x、y的特点.在建立圆的方程的过程中，它们可作为公式使用.链接思考 如何利用圆心到直线的距离研究直线与圆的位置关系？ 提示：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，利用“平面几何”知识来判定.考题名师诠释【例1】若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A., B., C., D.0,解析：如图，圆心(2，2)直线ax+by=0过原点， 当圆心到直线的距离d=时满足题意， 当b=0时，不符合，b0,，()2
6、+4+10.-2-2+.即2-k2+,倾斜角的范围为,.答案：B评述：解本题的关键是分析出圆上的点到直线的距离等于a时圆心到直线的距离应满足什么条件.找出a、b满足的关系再进一步求出斜率的范围.解决直线与圆的位置关系问题，常常数形结合.【例2】已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y2=2px(p0)上的两个动点，O是坐标原点，向量,满足+=-,设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.()证明线段AB是圆C的直径；()当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值.()证法一：+=-，(+)2=(-)2，=0x1x2+y1y2=0.
7、 设点M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则=0. 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.整理得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. 故线段AB是圆C的直径.证法二：+=-，(+)2=(-)2，即=0x1x2+y1y2=0, 若点M(x,y)在以线段为直径的圆上，则=-1(xx1,xx2)去分母得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 展开得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0, 所以线段AB是圆C的直径.证法三：+=-，=0,x1x2+y1y2=0, 以AB为直径的圆的方程是：(x-)2+(y-)2=(x1-x2
8、)2+(y1-y2)2, 整理得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.()解法一：设圆C(x,y)，则=2px1,=2px2(p0).x1x2=,又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2,-y1y2=,x1x20,y1y20,y1y2=-4p2,x=(y21+)=(y21+2y1y2)-=(y2+2p2), 所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2, 设圆C到直线x-2y=0的距离为d,则d=,当y=p时，d有最小值;由题设得=,p=2.解法二：设圆C的圆心为C(x,y)，则,y21=2px1,=2px2,(p0)x1x2=,又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2.x
9、1x20,y1y2=-4p2,x=(+)=(+2y1y2)-=(y2+2p2),所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2, 设直线x-2y+m=0与x-2y=0的距离为,则m=2, 因为x-2y+2=0与y2=px-2p2无公共点， 所以当x-2y-2=0与y2=px-2p2仅有一个公共点时，该点到x-2y=0的距离最小，最小值为,消去x得，y2-2py+2p2-2p=0有=4p2-4(2p2-2p)=0.p0,p=2.解法三：设圆C的圆C(x,y)，则,若圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么d=,=2px1,=2px2(p0),x1x2=,又x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2,x
10、1x20,y1y2=-4p2,d=，当y1+y2=2p时，d有最小值,由题意得=,p=2.评述：()由+=-知以，为邻边构成的平行四边形对角形相等，为矩形，即有.()的关键是先求出圆心C的轨迹方程.一题多解能提高学生灵活解决问题的能力应予以提倡.【例3】已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设l与圆C交于A、B两点,若|AB|=,求l的倾斜角;(3)求弦AB的中点M的轨迹方程;(4)若定点P(1,1)分弦AB为=,求此时直线l的方程.(1)证明：由已知l:y-1=m(x-1),直线l恒过定点P(1,1).12+(1-1)2=10时,直线向上平移,z值变大,向下平移z变小;当b0时,直线向上平移z变小,向下平移z变大.链接提示错解一:设投资人分别用x、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知(下同正解部分)剖析:上述条件不等式组漏掉x0,y0两个不等式,虽然可以得到问题的解,但是从应用问题来看忽略了问题存在的实际意义.错解二:设投资人分别用x、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知(下同正解部分)剖析:列出这样的条件组,将实际问题转化为数学问题时,没有正确地理解题中的关键词、句.本题中的“不超过”应翻译为不等号“”,而不是等号.