1、第10课时基本不等式的实际应用1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.3.能利用基本不等式解决实际问题.重点:能理清实际问题中变量关系.难点:把实际问题转化成基本不等式的模型.今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)8+22=56.当且仅当x=,即x=12时,取得最小值.问题2:用
2、基本不等式解实际应用问题的步骤(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+,x(0,)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+2=2,因为当x(0,)时无法满足sin x=.问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式
3、巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.我国的数学奖钟家庆数学奖为了纪念钟家庆教授并实现他发展祖国数学事业的遗愿,我国数学界的有关人士和一些在美华裔数学家于1987年共同筹办了钟家庆纪念基金,并设立了钟家庆数学奖,委托中国数学会承办,用以表彰与奖励最优秀的数学专业的硕士研究生、博士研究生,鼓励更多的年轻学者献身于数学事业,钟家庆数学奖对我国数学事业的发展起到了良好的推动作用.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,bR,则+2=2B.若a,b都为正数,则lg a+lg b2C.若x1,b1;对于C
4、,x0,x+=-(-x)+-2;只有D正确.【答案】D2.已知x,则函数y=4x-2+的最大值为().A.5B.1C.3D.4【解析】x,4x-51)的最小值.【方法指导】可将给定的分式函数变形为y=t+的形式,然后结合基本不等式来求解.【解析】y=(x-1)+2,x-10,y2+2=8.当且仅当x-1=,即x=4时取“=”.ymin=8.【小结】把已知条件化为y=x+(x0)类型的函数是解题的关键,对于x取何值时取“=”易错,应注意.利用基本不等式解实际应用问题某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休
5、闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?【方法指导】研究目标几何量的最小(大)值,需要根据几何量之间的关系,由计算公式得到目标函数,然后利用基本不等式求解.【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=,则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)+160=80(2+)+4160(x1).(2)80(2+
6、)+4160802+4160=1600+4160=5760,当且仅当2=,即x=2.5时等号成立,此时,a=40,ax=100.要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.【小结】求解实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对实际问题定义域的准确挖掘,一般地,每个表示实际意义的变量必须为正,由此可得自变量的范围,然后再建立目标函数求最值.此题中用基本不等式求最值时,等号成立的条件x=2.5正好在定义域(1,+)内,所以x=2.5时S的值就是最小值.把实际问题转化成数学模型如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周
7、壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.【方法指导】根据题意建立总造价函数,利用基本不等式求出函数的最大值.【解析】设污水处理池的长为x米,则宽为米.总造价f(x)=400(2x+2)+100+60200=800(x+)+120001600+12000=36000(元),当且仅当x=(x0),即x=15时等号成立.【小结】实际应用题的解题步骤一般分为两步:第一步将实际问题转化为数学问题;第二步求最值,最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法,应用基本不等式求最值时
8、一定要注意检验条件是否具备.(1)已知x0且x1,求lg x+logx10的取值范围.(2)已知x,求f(x)=的最大值.【解析】(1)当x1时,lg x0,logx10=0,于是lg x+logx102=2,当且仅当lg x=logx10,即x=10时,等号成立,lg x+logx10(x1)的最小值是2,此时x=10.当0x1时,lg x0,logx100,于是(-lg x)+(-logx10)2,lg x+logx10-2,当且仅当-lg x=-logx10,即x=时,等号成立,lg x+logx10(0x0,x-2+2,原式=1,故其最大值为1.某公司一年需要一种计算机元件8000个,
9、每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x个,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?【解析】设每年进货n次,购进8000个元件的总费用为y,一年总库存费用为2x=x=,手续费为500n.所以y=+500n=500(+n)4000,当且仅当=n,即n=4时等号成立.所以每年进货4次花费最小.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n
10、年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?【解析】由题意知f(n)=50n-12n+4-72=-2n2+40n-72.(1)由f(n)0,即-2n2+40n-720,解得2n18.由nN*知,该厂从第三年开始盈利.(2)方案:年平均纯利润=40-2(n+)16,当且仅当n=6时等号成立.故方案共获利616+48=144(万元),此时n=6.方案:f(n)=-2(n-10)2+128
11、.当n=10,f(n)max=128.故方案共获利128+16=144(万元).比较两种方案,获利都是144万元,但由于第种方案只需6年,而第种方案需10年,故选择第种方案更合算.1.设0x1,则x(3-3x)取最大值时x的值为().A.B.C.3D.1【解析】0x1,03-3x0,则y=3-3x-的最大值为().A.3B.3-3C.3-2D.-1【解析】x0,3x+2=2,y=3-3x-3-2,当且仅当3x=,即x=时等号成立.【答案】C3.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为.【解析】x+2y=(x+2y)(+)=10+10+2=18.当且仅当y=,且+=1,即x=12,y=3时
12、取最小值.【答案】184.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?【解析】设水池底面一边的长度为x米,水池的总造价为l元,根据题意可得l=150+2(3x+3)120=240000+720(x+)240000+7202=240000+720240=297600,当x=,即x=40时,l有最小值297600.因此当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.(2013年陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).【解析】设矩形另一边长为y,根据上、下两个三角形相似可得=,y=40-x,矩形面积S=xy=x(40-x)()2=400,当且仅当x=40-x,即x=20时,矩形的面积最大.【答案】20