1、第三节函数的奇偶性与周期性题号1234567答案 1(2013广东卷)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1解析：四个函数中，yx3和y2sin x是奇函数故选C.答案：C2(2013山东滨州一模)函数y，x(，0)(0，)的图象大致是()解析：函数y，x(，0)(0，)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C.当x时，y0，故选A.答案：A3(2013辽宁辽源模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)等于()A2 B. C. Da2解析：将f(x
2、)g(x)axax2中的x用x代替得f(x)g(x)axax2，由函数的奇偶性可得f(x)g(x)axax2，将两式相加和相减可得g(x)2，f(x)axax，因为g(2)a，所以a2，则有f(2)2222.答案：C4若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1解析：方法一由已知得，f(x)的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，a.故选A.方法二f(x)是奇函数，f(x)f(x)又f(x)，则在函数的定义域内恒成立，可得a.故选A.答案：A5已知函数f(x)lg(1x)lg(1x)，g(x)lg(1x)lg(1x)，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为奇函数，g(x)
3、为偶函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：两个函数的定义域均为(1，1)，则f(x)lg(1x)lg(1x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数；又g(x)lg(1x)lg(1x)g(x)，所以函数g(x)为奇函数，故选D.答案：D6. (2013浙江重点中学协作体摸底测试)函数f(x)|x31|x31|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f(a)解析：函数的定义域为R，且满足f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(a)f(a)而点(a，f(a)在函数图象上，(a，f(a)也在函数图象
4、上故选B.答案：B7. (2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3解析：设x0，则x0.所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x.求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解，当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32，故选D.答案：D点评：求函数的零点等价于求方程的根，等价于求两个函数图象的交点的横坐标，此题还可以通过画图求解注意“零点”不是“点”，是一个数值8已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)
5、f(x)，则f(6)的值为_解析：由已知等式得f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)f(2)，由f(x2)f(x)得f(2)f(0)，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，所以f(6)0.答案：09函数f(x)对于任意实数x满足条件 f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，f(5)f(1)5，f(5)f(1).答案：10设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2 015)，则实数a的取值范围是_解析：f(2 015)f(2)f(1)f(1)1，1，解
6、得1a.答案：11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a的取值范围解析：(1)易知f(1)1，f(1)1m，又f(x)是奇函数，f(1)f(1)1m1.m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知1a3.故实数a的取值范围是(1，312(2013四川泸州模拟)设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积解析：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，从而得f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.