1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点考点学习目标核心素养一次函数模型会建立一次函数模型解决实际问题数学建模二次函数模型会建立二次函数模型解决实际问题数学建模分段函数模型会利用分段函数解决与之相关的实际问题数学建模f(x)x(a0)模型建立目标函数f(x)x(a0)的形式，然后利用均值不等式求解数学建模一次函数模型 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y1，y2
2、与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解】(1)由图像可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1k1x29，y2k2x，得k1，k2.所以y1x29(x0)，y2x(x0).(2)令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，使用“便民卡”便宜；当x96时，y1y2，使用“如意卡”便宜.利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 某列火
3、车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程.解：因为火车匀速行驶的总时间为(27713)120(h)，所以0t.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s13120t.火车离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2(h)，此时火车行驶的路程s13120233(km).二次函数模型 有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形
4、组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.【解】设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9xx6yl，所以6yl(9)x，所以Sx24xyx2xl(9)xx2lx.要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大.由6y0，得0x.因为0，所以当x，y，即时，窗户的面积S有最大值，且Smax.二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题. 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m0)，为了保证鱼群的生长空
5、间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值.解：(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是ykx，0xm.(2)由(1)知，ykxx2kx2，0xm，则当x时，y取得最大值，ymax.所以鱼群年增长量的最大值为.分段函数模型 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200
6、辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并结合(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)在区间0，20上取得最大值6
7、0201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2，当且仅当x100时，等号成立.所以当x100时，f(x)在区间(20，200上取得最大值.综上可得，当x100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时. (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 某旅游景区
8、有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元.用x(单位：元，且xN)表示每辆自行车的日租金，用y(单位：元)表示出租的自行车的日净收入.(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：(1)当3x6，且xN时，y50x115.当6x20，且xN时，y503(x6)x1153x2
9、68x115，综上，yf(x)(2)当3x6，且xN时，因为y50x115是增函数，所以当x6时，ymax185.当6x20，且xN时，y3x268x1153，所以当x11时，ymax270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.f(x)x(a0)模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)
10、写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得：当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元，当x8时，L(x)35352352015，当且仅当x时等号成立，即x10时，L(x)取得最大值15万元.因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最
11、大，最大利润为15万元.应用均值不等式解实际问题的步骤(1)理解题意，设变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元.解析：设该长方体容器的长为x m，则宽为 m.又设该容器的造价为y元，则y2042108020(x0).因为x24，所以ymin80204160(元).答案：1601.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1
12、000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨()A.820元B.840元C.860元 D.880元解析：选C.设ykxb，则1 000800kb，且2 000700kb，解得k10，b9 000，则y10x9 000.解40010x9 000，得x860(元).2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y15x2900x16 000，y2300x2 000，其中x为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为()A.11 000元 B.22 000元C.33 000元 D.40 000元解析：选C.设两个店分别销售出x
13、与110x辆电动车，则两店月利润L5x2900x16 000300(110x)2 0005x2600x15 0005(x60)233 000，所以当x60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元.3.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(xN*，x40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为(代金券相当于等价金额).解析：当0x10时，f(x)40x；当10x20时，f(x)35x10；当20x40时，f(x)30x20.所以f(x)答案：f(x)4.如图，建立平面
14、直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件，知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标等价于存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立，即关于k的方程a2k220aka2
15、640有正根，所以(20a)24a2(a264)0a6，所以当它的横坐标a不超过6 km时，可击中目标.A基础达标1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m1623x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为()A.40元/件B.42元/件C.54元/件 D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y元，则y(x30)(1623x)3(x42)2432，所以当x42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面
16、积之和的最小值是()A. cm2 B.4 cm2C.3 cm2 D.2 cm2解析：选D.设一段长为x cm，则另一段长为(12x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0x12.则S(x6)22，当x6时，Smin2.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为()A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米 D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y由
17、y16m，得x10，所以2mx10m16m.解得x13.故选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸()A.215份 B.350份C.400份 D.520份解析：选C.设每天从报社买进x(250x400，xN)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表.数量/份单价/元金额/元买进30x260x卖出20x10250360x7 500退回10
18、(x250)0.88x2 000y(60x7 500)(8x2 000)60x8x5 500(250x400，xN).因为y8x5 500在250，400上是增函数，所以当x400时，y取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C.5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费ykv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k，费用
19、总和为1010248，当且仅当v，即v40时取等号.答案：406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.季度1234每千克售价(单位：元)19.5520.0520.4519.95某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为.解析：设y(m19.55)2(m20.05)2(m20.45)2(m19.95)24m22(19.5520.0520.4519.95)m19.55220.05220.45219.952，则当m20时，y取最小值.答案：207.如图，一动点P从边长为1的正方形ABC
20、D的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是.解析：当0x1时，APx，也就是yx.当1x2时，AB1，ABBPx，BPx1，根据勾股定理，得AP2AB2BP2，所以yAP.当2x3时，AD1，DP3x，根据勾股定理，得AP2AD2DP2，所以yAP.当30)，则(1x)21 690，所以1x，因此2018年预计经营总收入为1 300(万元).答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8
21、t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得所以y关于x的函数解析式为y(2)当x3.5时，y33.537.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x1524，解得x6.5.故该用户最多可以用6.5 t水. 12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场
22、售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式Pf(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f(t).由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g(t)(t150)2100，0t300.(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)f(t)g(t)，即h(t).当0t
23、200时，整理，得h(t)(t50)2100，当t50时，h(t)取得最大值100；当200t300时，整理，得h(t)(t350)2100，当t300时，h(t)取得最大值87.5.综上，当t50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.C拓展探究13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mgL1)满足ymf(x)，其中f(x).当药剂在水中释放的浓度不低于4 mgL1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mgL1且不高于10 mgL1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m4时，y.当04时，由4，得2x284(x1)，得4x16 .综上，0x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0x7，ymf(x)，当0x4时，y2m在区间(0，4上单调递增，则2m4时，y，其在区间(4，7上单调递减，则y3m.综上，y3m.为使4y10恒成立，只要满足4且3m10，即m，所以应该投放的药剂量m的最小值为.- 15 - 版权所有高考资源网