1、11.2 互斥事件有一个发生的概率巩固夯实基础 一、自主梳理 1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解 第一,互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 第二,所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三,两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的. 从集合角度来看,A、B两个事件互斥,则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作A,从集合的角度来看,事件A所含结果的集合正是全集U中
2、由事件A所含结果组成集合的补集,即A=U,A=.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件. 4.事件A、B的和记作A+B,表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的,因此当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥), 且有P(A+)=P(A)+P()=1. 当计算事件A的概率P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件的概率则要容易些,为此有P(A)=1-P(). 对于n个互斥事件A1,A2,An,其加法公式为P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An
3、). 5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想. 二、点击双基1.(2005北京宣武第二学期第三次质量检测)两个同学做同一道题,他们做对的概率分别为0.8和0.9,则该题至少被一个同学做对的概率为( )A.0.98 B.0.72 C.0.83 D.0.7解析：P=1-0.20.1=0.98.答案：A2.(2005重庆八中第二次诊断性测试)甲、乙两人独立解决同一问题,甲能解决这个问题的概率为P1,乙能解决这个问题的概率为P2,那么,甲、乙两人通过参与这个问题的解答,这个问题能解决的概率是( )A.P1+P2 B.P1P2 C.1-P1P2 D.P1+P2-P1P2解析：
4、先考虑对立面:甲、乙都不能解答的概率为(1-P1)(1-P2),由此得问题能解决的概率为P=1-(1-P1)(1-P2)=P1+P2-P1P2,故选D.答案：D3.(2006海淀模拟)甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是P2,则其中至少有一个人解决这个问题的概率是( )A.P1+P2 B.P1P2 C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2)解析：甲没有解决的概率为(1-P1),乙没有解决的概率为(1-P2),由题意分析至少有一人解决这个问题的概率为1-(1-P1)(1-P2).故选D.答案：D4.(2005重庆高考)若10把钥匙中只有2把能打
5、开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为_.解析：由题意P=1-=.答案：5.(2005北京宣武第二学期第一次质量检测)有两组问题,其中第一组中有数学题6个,物理题4个;第二组中有数学题4个,物理题6个.甲从第一组中抽取1题,乙从第二组中抽取1题.甲、乙都抽到物理题的概率是_,甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是_.解析：P1=;P2=1-=.答案: 诱思实例点拨【例1】 有4位同学,每人买1张体育彩票,求至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率.剖析:题中至少有2位同学彩票号码的末位数字相同,包含多个互斥事件,可先计算它的对立事件的概率.解:记“4位同学所买彩票的末位数字各不相同”为事件,每
6、人所买彩票的末数字均有0,1,2,9共10种可能,故基本事件的总数为104个.要末位数字全不相同,则第1位同学的末位数字有10种情况,第2、3、4位同学分别只有9、8、7种, P()=. 至少有两位同学的彩票的末位数字相同的概率 P(A)=1-P()=.讲评:在计算一个复杂事件的概率时,常把其分解为几个互斥事件的概率计算,或计算其对立事件的概率,从而间接得出结果.【例2】 某地区有5个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的),假定工厂之间,选择互不影响.(1)求5个工厂均选择星期日停电的概率;(2)求至少有2个工厂选择同一天停电的概率.剖析:本题为等可能
7、事件和对立事件的概率问题.解:(1)设5个工厂均选星期日停电为事件A,则P(A)=. (2)至少有2个工厂选同一天停电记为事件B.B比较复杂.它的对立事件为5个工厂选择停电的时间各不相同,记作,则P()=, 所以P(B)=1-P()=1-=.讲评:在处理对立事件的概率时常采用“正难则反”的原则.链接提示 如果某事件A发生包含的情况较多,而它的对立事件(即A不发生)所包含的情形较少,利用公式P(A)=1-P()计算A的概率则比较方便.这不仅可体现逆向思维,同时对培养思维的灵活性是非常有益的.【例3】 设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以d表示显性基因,r表示隐性基因,则具有d
8、d基因的人为纯显性,具有rr基因的人是纯隐性,具有rd基因的人为混合性.纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到1个基因,假定父母都是混合性,问:(1)1个孩子有显性决定特征的概率是多少?(2)2个孩子中至少有1个显性决定特征的概率是多少?剖析:(1)1个孩子有显性决定的特征包含有3种情况:母d父r;母r父d;母d父d.而其对立事件的发生仅有1种情况:母r父r.故可以通过求其对立事件发生的概率来求本身发生的概率. (2)2个孩子中至少有1个有显性决定的特征包括2种情况:2个孩子中有且只有1个有显性决定的特征;2个孩子中均有显性决定的特征.而其对立事件为:2个孩子均是
9、隐性决定的特征.所以也可以通过求对立事件发生的概率来求本身发生的概率.解:(1)(方法一)1个孩子有显性决定的特征的对立事件发生的概率为=. 1个孩子有显性决定的特征的概率为1-=. (方法二)孩子一对基因为dd、rr、rd的概率分别为、,孩子有显性决定的特征则具有dd或rd, 1个孩子有显性决定的特征的概率为+=. (2)(方法一)2个孩子中至少有1个有显性决定的特征的对立事件是2个孩子均为隐性决定的特征,其发生的概率为=. 所以至少有1个孩子有显性决定的特征的概率为1-=.(方法二)2个孩子中至少有一个显性决定特征的概率为1-C02()2=.讲评:本题分别采用互斥事件和对立事件的概率进行求解.从中可看出各自的特点,要注意的是概率加法公式仅适用于互斥事件,即当A、B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),否则公式不能使用.