1、5.3 不等式的应用考点核心整合 不等式的应用常常与求最值相关联，不等式在函数、方程中的应用，在几何中的应用及利用不等式解决实际问题.1.定理：如果x,y是正数，那么(当且仅当x=y时取“=”号). 已知x,y都是正数，如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.2.几何中一类求取值范围的问题是通过几何知识列出不等式，然后求解不等式，从而得出参数的取值范围.3.几何中距离、面积等最值问题，可以用重要不等式求解.4.不等式应用题要通过阅读、理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的
2、能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.(如解不等式、不等式的证明、均值不等式等)考题名师诠释【例1】(2006陕西高考，8理)已知不等式(x+y)(+)9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为( )A.8 B.6 C.4 D.2解析：x,yR+,(x+y)(+)=1+a+1+a+2. 当且仅当=即y2=ax2时“=”成立. 由题意得1+a+29. a4.答案：C链接聚焦 有的同学如下求解：x,yR+,x+y20,+2.(x+y)(+)49.a. 上述错误在两不等式“=”不能同时成立.【例2】已知a,函数f(x)=-a2x2+ax+c.(1)
3、证明：对任意x0,1,f(x)1的充要条件是c;(2)已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根、，证明：1且1的充要条件是ca2-a.分析：本题属于三个“二次”的问题，这类问题在解题时，首先要充分利用相应的二次函数的性质，特别是图象特征与单调性，由此可得解法.解：(1)f(x)=-a2(x-)2+c+,a,01,即(0,1， 当x0,1时，f(x)max=f()=c+. 充分性：c,x0,1时,f(x)c+1,f(x)1(x0,1). 必要性：x0,1时，f(x)1,而(0,1),f()=c+1,c.(2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴方程为x=,因为a,故(0,1)-1,1
4、,f(x)=0的两根、在-1，1内ca2-a,1且1的充要条件是ca2-a.点评：本题考查了对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式这三个“二次”之间关系的本质认识，对学生灵活处理参数的能力及不等式的转换能力有较高要求.三个“二次”问题在高考中经常会出现.【例3】 有一位同学写了一个不等式：(xR).(1)她发现当c=1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任何的正数c都成立？为什么？(2)对已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的“”改成某些值，如-c、0等，不等式总是成立的，试求出所有这样的值的集合M.分析：解决这类不等式的常用方法就是变量代换，令=t，则t.然后再利用基本不等式或
5、函数的单调性来解决，这样就引起分类讨论.解：(1)令=t,令f(x)=-=. 若不等式成立，即式0，则需tc-10x2-c. 而当c=时，式对于xR不能成立，所以原不等式对任何正数c不是都成立.(2)当01时，t,t-10. 由知，f(x)-0， 当t=，即x=0时，取等号，所以f(x)min=，故M=(-,). 综上所述，当01时，M=(-,).评述：分析法、比较法仍是证明不等式的常用方法.【例4】设函数f(x)=ax2+8x+3(a0),对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a),使得在整个区间0,l(a)上，不等式f(x)5都成立.问a为何值时,l(a)最大？求出这个最大的l(a),证明
6、你的结论.分析：要使f(x)5在0，l(a)上都成立，只需f(x)在0,l(a)上的最大值不大于5即可.求f(x)在0,l(a)上的最大值，需判断-是否在0，l(a)内，故需分类讨论.解：f(x)=a(x+)2+3-,a0,f(x)max=3-. 当3-5,即-8a0时，0l(a)-(如图(1).l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根,l(a)=. 当3-5,即a-8时，l(a)-(如图(2).l(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根,l(a)=， 当且仅当a=-8时等号成立. 由于, 因此，当且仅当a=-8时，l(a)取最大值.评述：本题是一道典型的函数、方程、不等式的综合题.数形结合利于开拓思路，找到解决办法.