1、专题三 三角函数考情动态分析 本专题主要内容包括三角函数的概念、图象、性质以及三角函数的恒等变形和应用，三角形中的三角函数关系等.三角函数不仅是学习立体几何、解析几何等知识的基础，也是研究相关学科的重要工具，还常与函数、方程、不等式、数列、向量、复数、参数方程等知识综合，具有一定的综合性和灵活性，研究近几年的高考试题，特别是2006全国及部分省市高考试题，可以发现，本章的内容一般以选择题、填空题的形式出现，如2005年全国卷()第7题，全国卷()第1题、第4题，这些题讲究通性通法，难度属中档题，也有时以解答题的形式考查，如2005年全国卷()(19)题，全国卷()(17)题，这些题常常是三角函
2、数与其它知识(如不等式、数列、平面向量等)的综合，这也是近年来高考命题的趋向，解答题难度不大.本专题的内容一般占整个试卷的15%左右. 展望2007年高考，对三角函数的考查仍以选择题、填空题的形式进行，且难度不大，解答题仍为中档题.因此复习时应立足课本,抓好基础,重视数学思想方法的运用,强化应用意识的训练,提高分析问题、解决问题的能力.3.1 三角函数的图象与性质考点核心整合 本课时重点内容是三角函数的图象与性质，它包含了三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，其中单调性为本节的一个难点，图象的变换及其应用是本课时的重点.1.关于y=Asin(x+)(A0,0)的图象(1)“五点法”作
3、图:设t=x+=0、2,求相应的x值及对应的y值,描点作图.(2)变换作图:y=sinxy=Asinx是将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍;y=Asinxy=Asin(x+)是将y=Asinx的图象上的所有点向左(0)或向右(0,0)的图象关于直线x=xk(xk+=k+,kZ)成轴对称图形;关于点(xk,0)(xk+=k,kZ)成中心对称图形.(5)A、有明确的物理意义.A表示振幅，表示周期，表示初相位.2.三角函数的性质 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 对于单调区间,要把x+看作一个整体,如由2k-x+2k+(kZ)解出的x的取值区间即为y=Asin(x+)(A0,0)
4、的增区间.链接提示 当1时，y=Asin(x+)是复合函数，求其单调区间时要注意的符号，若0，则应先利用奇偶性，把x的系数的符号变为正的.考题名师诠释【例1】(2005全国高考，17)设函数f(x)=sin(2x+),(-2说明直线和f(x)的图象不能相切.解：()解法1：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴， 所以sin(2+)=1, 则有+=k+,kZ. 因为-0, 所以=-.解法2：函数y=sin 2x图像的对称轴为x=+,kZ.y=sin(2x+)的图像由y=sin 2x的图像向左平移得到，所以有+-= kZ.-0,=-.解法3：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(
5、-x)=f(+x). 即sin2(-x)+=sin2(+x)+， 于是有2(-x)+=2k+2(+x)+(舍去), 或2(-x)+2(+x)+=2k+. 因为-2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-)的图象不相切.解法2：令F(x)=sin(2x-)-, 则F(x)=2cos(2x-)-,-1cos(2x-)1，F(x)0. 则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-)的图像不相切.评述：本题第()()问是三角函数中最基本的问题，第()问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的.链接提示1.依给定的对称轴x=，求：(a)不清楚对
6、称轴一定经过f(x)的极大值点或极小值点；(b)由sin(2+)=1，确定+=或+=-时，没有考虑-0这一条件.2.确定f(x)=sin(2x-)的单调增区间时，不清楚2x-所属的区间就是sinx的单调增区间.3.f(x)=sin(2x-)是复合函数，有的同学求导出错.4.f(x)=2cos(2x-)2,不清楚任意直线如斜率大于2则直线与f(x)不可能相切.【例2】(山东临沂模拟，17)已知集合A=xx-a0若f(x)=sinx-cosx在A上是增函数，求a的最大值.分析：由f(x)在A上是增函数，知A应包含于f(x)的增区间，故需化简A，求f(x)的单调增区间.解：由x-a0) 当1-a0，
7、即0a1时，A=xx.f(x)=sin(x-),由2k-x-2k+得2k-x2k+.f(x)在A上为增函数， (kZ).01,k=0.0a,即a的最大值为, 当1-a1时，A=xx,与f(x)在A上单调增不符； 当1-a=0,即a=1时，A=xx,与f(x)在A上单调增不符. 综上得a的最大值为.评述：f(x)的单调递增区间有无数多个，A包含于哪个单增区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看A的端点的范围.解本题分类讨论时，应先讨论a1的情况，因为a1时若有最大值，则不再需讨论a1的情况.链接拓展 已知集合A=xx-a0，是否存在实数a，使得f(x)=sinx-cosx在A上为减函数；
8、若存在，求a的范围；若不存在，请说明理由.(不存在)(湖北黄冈四模，17文)已知ABC的面积S满足S3，且=6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()=sin2+2sincos+3cos2的最小值.分析：(1)要建立与S之间的函数关系式，再利用余弦函数的单调性；(2)要把f()化成Asin(x+)的形式.解：(1) =cos=6, S=sin(-)=sin， 由得=tan,即tan=. 由S3，得tan1,又为与的夹角，0，.(2)f()=sin2+2sincos+3cos2=1+sin2+2cos2=2+sin2+cos2=2+sin(2+),2+,.2+=,即=时，f()的最小
9、值为3.评述：研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(x+)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.【例3】 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间-,上的图象.解：(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin(2x-), 所以函数f(x)的最小正周期为，最大值为1+.(2)由(1)知x-y11-11+1故函数y=f(x)在区间-,上的图象是评述：本题主要考查三
10、角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能.研究y=asinx+bcosx型函数的性质，一般要化成y=Asin(x+)型的函数再研究.链接拓展 求函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)在-,上的最值. 提示:求2x-的范围,最大值为2,最小值为1-.【例4】 把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m(m0)个单位，所得函数的图象关于直线x=对称.(1)求m的最小值；(2)证明当x(-,-)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设x1,x2(0,),x1x2,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.分析：
11、(1)f(x)的图象平移后关于直线x=对称，则x=使平移后的函数式取最值；(2)只需计算图象上任两点斜率的范围；(3)可求出x1,x2的值即可.解：(1)f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=-sin2x+3=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2. 将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位得到函数g(x)=cos2(x+m)+2的图象.g(x)的图象关于直线x=对称，2(+m)+=k(kZ)即m=(kZ),又m0，m的最小值为(k=5时取得).(2)-x-,-42x+-,f(x)在(-,-)上是减函数.于是x1,x2(-，-)，且x1f(x2)从而经过两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)的斜率k=0.(3)f(x)=1cos(2x+)=-,在(0，)内满足cos(2x+)=-的值为和.f(x1)=f(x2)=1.且x1,x2(0,).x1x2,x1+x2=+=另法：由2x+=k(kZ)得x=-在(0，)内的对称轴为x=和x= 又f(x1)=f(x2)=1,且x1,x2(0,).x1x2,x(,)时f(x)1.x1+x22=.评述：本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.