1、第2章 平面向量 2.4 向量的数量积 一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？cos|sFW其中力和位移 是向量，是 与 的夹角，而功 W是数量.FssF情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs1两个非零向量夹角的概念（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180已知非零向量a与，作a，则叫a与的夹角.=（0）OBOA（2）当时，a与反向；（3）当/2时，a与垂直，记a；abObaO说明：（1）当0时，a与同向；如图,等边三角形ABC中,求（1）AB与AC的夹角；（2）
2、AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060CD 01202平面向量数量积（内积）的定义：探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.规定0与任一向量的数量积为0。（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=bc 能否推出a=c
3、？(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。即：0 a=03.两个向量的数量积的性质：baba,)1(同向时与当|ba baba,)2(反向时与当|ba baba,)3(时当0cos|babaaaa|或22)4(aaaababa0两向量均为非零向量4.运算律：acbc(1)a b=b a(3)(ab)c=(2)(bababa(交换律)(分配律)例1 判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0；aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；
4、a与是两个单位向量，则a.BAAB例1 判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0；aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.应用数学:例2.|a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：(2)(a+2b)(a-3b)(3)(a+b)2(4)|a+b|ba)1(ba:解060cos|ba 52152baba22|6|:原式分析原式分析:baba2|22分析:.,)(2 再开方先求ba aa=|a|2（简写a2=|a|2）aaa|或性质2222)(bbaaba22)()(bababa（1）（2）探究:下列等式成
5、立吗?baba2|2222|ba（3）baba()()()夹角的范围运算律性 质数量积 0(3)(ab)c=acbc aa=|a|2（简写 a2=|a|2）aaa|或知识回顾:cos|baba(2)(bababa(1)a b=b a(交换律)(分配律)我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 呢？的坐标表示和baba1、平面向量数量积的坐标表示 如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，由于 所以 ijcosbabaxijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)ii jjijji.110下面研究怎样用.baba的坐标表示和设两个非零向量=(x1,y1),=(x2,y
6、2),则ab1122112222121221121212,()()ax iy jbx iy ja bx iy jx iy jx x ix y i jx y i jy y jx xy y故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)aby.2121yyxxba根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式 0baba（1）垂直0),(
7、),21212211yyxxbayxbyxa则（设3、两向量垂直和平行的坐标表示 0/),(),12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行4、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设基本技能的形成与巩固.),1,1(),32,1(1)1的夹角与，求已知例babababa.60,1800,21cos)31(2324231babababa，.),4,2(),3,2(2)）（）则（已知bababa72013.7
8、)1(740)1,4(),7,0(2222babababababababa）（）法二：（）（）（法一：例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB 练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.yBAOx），或（），的坐标为（答案：23272723B逆向及综合运用 例3（1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .abab./)2,1(,1
9、02的坐标，求，且）已知（ababa.43)5,(),0,3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba.532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（提高练习的坐标为，则点，且，、已知CABBCOBACOBOA/)5,0()1,3(1)329,3(C2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k +2 与 2 -4 平行，则k=.abaabb-1小结 、理解各公式的正向及逆向运用；、数量积的运算转化为向量的坐标运算；、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。