1、8.1 空间几何体的结构特征和三视图 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.1 空间几何体的结构特征和三视图双基研习面对高考 1简单旋转体(1)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面球面所围成的几何体叫作球体，简称_在球面上，两点之间连线最短的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们称这段弧长为两点的_球双基研习面对高考 基础梳理 球面距离(2)分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台它们都有_高、底面、侧面、母线思考感悟1直角三角形绕其一边所在
2、直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥吗？提示：不一定是圆锥若直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，则得到的几何体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转一周，则得到的是两个同底圆锥构成的一个组合体 2简单多面体(1)两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作_两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的_，底面多边形与侧面的公共点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高棱柱分为直棱柱和斜棱柱棱柱侧棱(2)有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥这个多边形叫作棱锥的底面
3、，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的_，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的_(3)如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作_正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，它的高叫作正棱锥的_侧棱高正棱锥斜高用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作_原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的_由正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的_棱台高斜高3斜二测画法(1)在已知图形中
4、建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示_(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于_的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持_；平行于y轴的线段，长度为原来 的12.水平平面x轴和y轴原长度不变4三视图(1)三视图的特点：主、俯视图_；主、左视图_；俯、左视图宽相等，前、后对应(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的_，在三视图中，_和可见轮廓线都用实线画出(3)画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定主视、俯视、左视的_同一物体放置的_，所画的三视图可能不同其次，简单组合体是由
5、哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的_长对正高平齐分界线分界线方向位置不同交线位置思考感悟2空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上有什么区别？提示：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形(2)投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形课前热身 1(教材习题改编)如图所示，4个三视图和4个实物图配对正确的是()A(1)c，(2)d，(3)b，(4)a B(1)d，(2)c，(3)b，(4)aC(1)c，(2)d，(3)a，(4)b D(1)d，(2)c，(3)a，(4)b答
6、案：A2(2011年黄冈中学质检)如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图均不相同的是()ABCD答案：C3利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是()ABCD答案：A4给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的其中正确的是_答案：5如果把地球看成一个球体，则地球上北纬30纬线长和赤道线长的比值为_答案：32考点探
7、究挑战高考 考点突破 空间几何体的结构特征解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，为假命题的是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【思路点拨】根据几何体的特征“四条侧棱都相等”进行判断 例1【解析】A如图，SASB SC SD，SAO SBOSCOSDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相
8、等，正确；B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；C.如图，由SASBSCSD得OAOBOCOD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；D.等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确故选B.【答案】B【规律小结】熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何体模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，是解决这类题目的基本思考方法 几何体的三视图画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的
9、关系(2010年高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()例2A.3523cm3 B.3203cm3C.2243cm3D.1603cm3【思路点拨】根据三视图，确定几何体的结构，画出直观图，根据公式可求体积【解析】该空间几何体上半部分是底面边长为4，高为 2 的正四棱柱，其体积为 44232(cm3)下半部分是上、下底面边长分别为 4、8，高为 2 的正四棱台，其体积为13(164864)22243(cm3)故其总体积为 322243 3203(cm3)【答案】B【名师点评】通过三视图间接给出几何体的形状，打破了以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传
10、统模式，使三视图与传统意义上的几何体有机结合，这也体现了新课标的思想变式训练 1(2010 年高考陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A2 B1C.23D.13解析：选 B.由三视图可知，它表示的是一放倒的底面是一直角边为 2，另一直角边为 1的直角三角形，高为 2的直三棱柱，所以体积为 V12 21 21.故选 B.几何体的直观图画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握(2011年亳州质检)已知正三角形ABC的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为
11、()A.32 a2B.33 a2C.68 a2D.616a2例3【思路点拨】根据直观图的画法规则求出ABC的高即可【解析】如图所示，正三角形ABC的实际图形和直观图 由图可知，ABABa，OC12OC34 a，在直观图中作 CDAB于 D，则 CD 22 OC 68 a.SABC12ABCD12a 68 a616a2.【答案】D【失误点评】本题易出现用错斜二测画法规则的错误，如把与横轴平行的线段长度变为原来的一半或与纵轴平行的线段长度不变等，都会导致计算结果的错误 变式训练2 如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且
12、BC与y轴平行，若AB6，DC4，AD2，则这个平面图形的实际面积是_ 解析：由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且 AB 与 CD 的长度不变，仍为 6 和 4，高 CB 为 4 2，故面积为12(64)4 220 2.答案：20 2方法感悟 方法技巧1几何体的结构特征主要是理解基本概念和性质，并能灵活应用正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切球半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决(如例1)2要注意物体的三视图和直观图的关系，注意两者之间的转化，会由物体的三视图作出物体的直观图，同样也应会由物体的直观图画出物体的三视图(如例2)失误防范1台体可以看成
13、是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行2掌握三视图的概念及画法在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线并做到“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”3掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”考情分析 考向瞭望把脉高考 柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图及直观图属新增内容，在各地高考题中频繁出现，大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积
14、，球面距离也是考查的重点内容，以上考点多以选择题、填空题出现，难度不大预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力真题透析 例(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_【解析】由三视图可知本题的几何体是：下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥于是可以得到体积是 11213221103.【答案】103【误区警示】解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体的形状时出错，不能根据俯视图得出上面是一个正四棱锥；(2)体积公式用错，漏掉锥体体积公式前的“13”1下列命题中，不正确的是()A棱长都相等的长方体是正方体B有
15、两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体解析：选C.由平行六面体、正方体的定义知A、D正确；对于B，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而B正确；对于C，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱名师预测 2如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为()A.33 B.2 33 C.3D.3解析：选 A.依题意知，该几何体是一个圆锥，圆锥的底面半径等于 1，轴截面是一个边长为 2 的正三角形，所以圆锥的高等于 3，于是圆锥的体积为1312 3 33，故选 A.3如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积是_解 析：按 斜 二 测 画 法，将 直 观 图 中OAB还原成原图形，即OAB(如图)，则OAB 的面积是 S126412.答案：124星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160 cm，在阳光下他的影长为80 cm，爸爸身高是180 cm，则此时爸爸的影长为_cm.答案：90解析：依题意可得爸爸的影长为1808016090 cm.