1、课时分层作业(十一)双曲线的几何性质(建议用时：60分钟)基础达标练1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A B5C.D2A由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A1 B1C1D1A由已知得椭圆中a13，c5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a4，c5，故双曲线中b3，双曲线方程为1.3若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)Ce，e21，又a
2、1，01，112.1e0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A B2CD2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.5已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0)的一条渐近线为xy0，则a_.双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.7与椭圆1共焦点，离心率之和为的双曲线的标准方程为_1
3、椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e，双曲线的离心率等于2，2，a2.b2422212.双曲线的方程为1.8在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x21的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是_4由题意得a21，b23，所以c2，故F(2,0)，从而l：x2，又双曲线的渐近线方程为yx，所以直线l与渐近线交于(2，2)，因此，S244.9已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长解双曲线方程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又
4、l的斜率为1.直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，A，B两点不位于双曲线的同一支上x1x22，x1x2，|AB|x1x2|6.10设双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程解(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.双曲线方程为y21，渐近线方程为yx.l1的方程为yx，l2的方程为yx.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)2|AB|5|F1F2
5、|52c20，|AB|10，10，即(x1x2)2(y1y2)2100.y1x1，y2x2，x1x22x，y1y22y，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，y(x1x2)，y1y2x，代入(x1x2)2(y1y2)2100，得3(2y)2(2x)2100，整理得1.能力提升练1已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线3xy30垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(xc)2y22与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为()A1 B2C. D2D由直线垂直的条件，可得1，所以，由点F(c,0)到渐近线yx的距离d，可得c，2c2.2设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上
6、存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为 ()A B C D3B不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去), 故e.3已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，则此双曲线的方程为_x2y22设此双曲线方程为x2y2a2(a0)，则它的渐近线方程为yx，焦点坐标为(a,0)，(a,0)，a，此双曲线的方程为x2y22.4双曲线1(a1，b1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(
7、1,0)到直线l的距离之和sc，则双曲线的离心率e的取值范围为_直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，b1，得到点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250.解不等式，得e25，由于e1，因此e的取值范围是e.故填.5若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.故k的取值范围是(1，)(2)由(*)式得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.设C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)点C是双曲线上一点，80m264m21，得m.故k，m.
