1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化(重点)1参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数，atb.(*)如果对于t的每一个值(atb)，(*)式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数简单地说，若t在atb内变动时，由(*)式确定的点M(x，y)描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程2参
2、数方程与普通方程互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数有什么实际意义？提示联系x、y的参数t(，)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数圆的参数方程中，其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度思
3、考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？提示不一定惟一普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)解析消去sin2，得x2y，又0sin21，2x3.答案C2把方程xy1化为以t为参数的参数方程是()A B C D答案D3曲线与x轴交点的直角坐标是()A(0,1) B(1,2) C(2,0)D(2,0)解析设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y0得t1，代入x1t2，得x2，曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)答案C4曲线(t为参数)与直
4、线xy0的交点坐标是()A(5，5)B(7，7) C(5,5)D(7,7)解析将x12t，y23t代入xy0得t3，代入参数方程得x7，y7.答案B参数方程的概念【例1】已知曲线C的参数方程为(为参数，02)判断点A(2,0)，B(，)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值思路探究将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解解把点A(2,0)的坐标代入得cos 1且sin 0，由于02，解之得0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数0，同理，把B(，)代入参数方程，得又02，所以点B(，)在曲线C上，对应.对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有
5、解，否则无解，即参数t不存在1已知曲线C的参数方程为(t为参数)判断点A(3,0)，B(2,2)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值解将点A(3,0)的坐标代入，得，解之得t2.所以点A(3,0)在曲线C上，对应参数t2.将点B(2,2)的坐标代入，得，即，此方程组无解所以点B(2,2)不在曲线C上求参数方程【例2】在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h490 m，水平飞行的速度v100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程(不计空气阻力，重力加速度g10 m/s2)思路探究这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的
6、运动表示出来，从而建立弹道的参数方程解如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O，以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系设P(x，y)为炸弹在t s后的坐标，则由题意可知因为h490 m，v100 m/s，g10 m/s2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是(0t7)1本例选择时间t为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键2求轨迹的参数方程的一般步骤是(1)建立适当的坐标系，设动点P(x，y)为轨迹上任意一点(2)根据题意选择与动点P有直接联系的参数t.(3)根据轨迹条件求出x和y与参数t之间的函
7、数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的2设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)解取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得xOQ|OP|cos v0tcos .yQMQPMPv0tsin gt2.即得弹道曲线的参数方程：参数方程与普通方程的互化【例3】在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，为参数时，方程表示
8、何种曲线？思路探究(1)运用加减消元法，消t；(2)利用平方关系sin2 cos2 1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状解方程(a，b是正常数)，(1)sin cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线(2)()当t为非零常数时，原方程组为22得1，即(xa)2(yb)2t2，它表示一个圆()当t0时，表示点(a，b)1将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响本题启示我们，形式相
9、同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线3若将题目中的条件，改为“以过点A(0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x2y216的参数方程”解设M(x，y)是曲线4x2y216上异于A(0,4)的任意一点则k(x0)，ykx4(k0)将ykx4代入4x2y216，得x(4k2)x8k0，或(k0，k为参数)因此所求的参数方程为(k0)和(教材P34习题21T4)设曲线的参数方程为，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.(t是参数)命题意图本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力解x12，x1，将代入y34得2xy10(x1)，表示一条射线- 7 - 版权所有高考资源网