1、2015-2016学年山东省济南外国语学校高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知集合A=x|1x1，B=x|0x2，则AB=（）A1，0）B1，0C0，1D（，1）2，+）2设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A1iB1+iC1iD1+i3下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的是（）Af（x）=Bf（x）=（x1）2Cf（x）=exDf（x）=ln（x+1）4已知函数f（x）=log2x，任取一个x0，2使f（x0）0的概率为（）ABCD5“x2”是“x23x+20”成立的（）A充分不必要条
2、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）An=6Bn6Cn6Dn87如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）AB64CD8函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）等于（）A2或0B2或2C0D2或09已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）ABC2D310如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1
3、x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分把正确答案填在答题卡中的横线上）11设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（3，6），且，则（+）=12若x，y满足则z=x+2y的最大值为13直线3x+4y+5=0与圆x2+y2=4交于M，N两点，则（O为坐标原点）等于14函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在0，上的面积为（nN+），则函数y=sin3x在0，上的面积为15已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2
4、=3相切，则双曲线的方程为三、解答题（本大题包括6小题，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组0，2），第二组2，4），第三组4，6），第四组6，8），第五组8，10，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决
5、定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积18已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积19在等差数列an中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a64，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn20如图，椭圆E： +=1（ab0）
6、经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为221已知函数f（x）=x3ax2，常数aR（）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（）若函数y=f（x）与直线y=x1只有一个交点，求实数a的取值范围2015-2016学年山东省济南外国语学校高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知集合A=x|1x1，B=x|0x2，则AB=（）A1，0）B1，0C0，1D（，1）2，+）【考点】交集及其运算【
7、分析】由A与B，求出A与B的交集即可【解答】解：A=1，1，B=0，2，AB=0，1，故选：C2设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A1iB1+iC1iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据题意分子与分母分别乘以复数Z的共轭复数，即可得到答案【解答】解：由题意可得：z=1+i，所以=故选C3下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的是（）Af（x）=Bf（x）=（x1）2Cf（x）=exDf（x）=ln（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+）上是减函数，再根据反比例函数、
8、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断【解答】解：对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2），函数在（0，+）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，故B不对；C、由于e1，则由指数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（1，+），由于e1，则由对数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故D不对；故选A4已知函数f（x）=log2x，任取一个x0，2使f（x0）0的概率为（
9、）ABCD【考点】几何概型【分析】根据对数不等式的解法求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：由f（x0）0得log2x00，得1x02，则任取一个使f（x0）0的概率P=，故选：D5“x2”是“x23x+20”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义分别进行证明即可【解答】解：x23x+201x2，1x2x2且x2推不出1x2，“x2”是“x23x+20”成立的必要不充分条件，故选B6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（
10、）An=6Bn6Cn6Dn8【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S=，n=6满足条件，S=，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n6，故选：C7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）AB64CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，
11、利用条件所给数据，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，V=故选A8函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），则f（）等于（）A2或0B2或2C0D2或0【考点】余弦函数的图象【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，从而求得f（）的值【解答】解：由函数f（x）=2cos（x+）（0），对任意x都有f（+x）=f（x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=2，故选：B9已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）ABC2D3
12、【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案【解答】解：如图，联立，解得，A在x轴上方，则|AF|=xA+1=4，|BF|=，由=m，得故选：D10如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【考点】指、对数不等式的解法【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）l
13、og2（x+1）的x范围是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分把正确答案填在答题卡中的横线上）11设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（3，6），且，则（+）=15【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算【分析】根据且，建立方程关系，即可求出x，y的值，然后根据数量积的坐标公式进行计算即可【解答】解：向量=（x，1），=（1，y），=（3，6），且，3x6=0且63y=0，即x=2，y=2，（+）=+=3x6+36y=0+3+62=15故答案为；1512若x，y
14、满足则z=x+2y的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入z=x+2y得答案【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=+要使z最大，则直线y=+的截距最大，由图可知，当直线y=+过点A时截距最大联立，解得，A（0，1），z=x+2y的最大值为0+21=2故答案为：213直线3x+4y+5=0与圆x2+y2=4交于M，N两点，则（O为坐标原点）等于【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意设出M、N的坐标，联
15、立直线与圆的方程，利用根与系数的关系得到M、N的横纵坐标的积，代入数量积的坐标运算得答案【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得25x2+30x39=0则，=故答案为：14函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在0，上的面积为（nN+），则函数y=sin3x在0，上的面积为【考点】类比推理【分析】函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在0，上的面积，得出函数y=sin3x在0，上的面积是函数y=sin3x在0，上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在0，上的面
16、积【解答】解：函数y=sinnx在0，上的面积为（nN+），对于函数y=sin3x而言，n=3，函数y=sin3x在0，上的面积为：则函数y=sin3x在0，上的面积为=故答案为：15已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程，并化为一般式方程，由直线与圆相切的条件和点到直线的距离公式列出方程，由焦点坐标和a、b、c的关系列出方程，联立后求出a、b的值，可得答案【解答】解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，即bxay=0，因它与圆（x2）2+y2=3相切，则，又
17、一个焦点为F（2，0），则c=2，联立，解得，所以双曲线方程为，故答案为：三、解答题（本大题包括6小题，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组0，2），第二组2，4），第三组4，6），第四组6，8），第五组8，10，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方
18、法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）利用频率分布直方图能分别求出第三，四，五组的频率（2）列出所含基本事件总数，找到满足条件的基本事件，根据古典概率公式计算即可【解答】（1）解：第三组的频率是0.1502=0.3；第四组的频率是0.1002=0.2；第五组的频率是0.0502=0.1（2）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的
19、是C1，所含基本事件总数为：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C1，A2，B1，A2，B2，A2，C1，A3，B1，A3，B2，A3，C1，B1，B2，B1，C1，B2，C1所以17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解ABC的面积【解答】解：（）因为向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平
20、行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为： =18已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，
21、进而得到EFBG，再结合线面平行的判定定理得到EF面ABC；（）根据已知中ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC面ABC得到BGAC，DCBG，根据线面垂直的判定定理得到BG面ADC，则EF面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE面ACD；（）方法一：四棱锥四棱锥ABCDE分为两个三棱锥EABC和EADC，分别求出三棱锥EABC和EADC的体积，即可得到四棱锥ABCDE的体积方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO平面BCDE，即AO为VABCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥ABCDE的体积【解答】证明：（）取AC中点G，连接FG、BG，F，G分别是AD，A
22、C的中点 FGCD，且FG=DC=1BECDFG与BE平行且相等EFBG EF面ABC，BG面ABCEF面ABC（）ABC为等边三角形BGAC又DC面ABC，BG面ABCDCBGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，BG面ADC EFBGEF面ADCEF面ADE，面ADE面ADC 解：（）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AOBC，又CD平面ABC，CDAO，BCCD=C，AO平面BCDE，AO为VABCDE的高，19在等差数列an中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a64，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式；（2
23、）设数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和Sn=n2，代入bn=，然后利用裂项相消法数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由2a1+3a2=11，2a3=a2+a64，得2a1+3a2=2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11 ，2a3=a2+a64，即2（a1+2d）=a1+d+a1+5d4 ，联立解得d=2，a1=1，an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1；（2）Sn=na1+n（n1）d=n1+n（n
24、1）2=n2，bn=，Tn=（）+（）+（）+（）=1=20如图，椭圆E： +=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（）由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知， =，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意
25、设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线AP与AQ斜率之和为221已知函数f（x）=x3ax2，常数aR（）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（）若函数y=f（x）与直线y=x1
26、只有一个交点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象【分析】（）把a=1代入函数解析式，设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点（1，0），求得切点横坐标，则过（1，0）点的切线方程可求；（）把曲线y=f（x）与直线y=x1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3x+1只有一个实根，进一步转化为方程只有一个实根构造函数，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程只有一个实根时的实数a的取值范围【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x3x2，设切点P为（x0，y0），则，过P点的切线方程为该直线经过点（1，0），有，化简得，解得x0=0
27、或x0=1，切线方程为y=0和y=x1；（）曲线y=f（x）与直线y=x1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3x+1只有一个实根显然x0，方程只有一个实根设函数，则设h（x）=x3+x2，h（x）=3x2+10，h（x）为增函数，又h（1）=0当x0时，g（x）0，g（x）为增函数；当0x1时，g（x）0，g（x）为减函数；当x1时，g（x）0，g（x）为增函数；g（x）在x=1时取极小值1又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷g（x）图象大致如图所示：方程只有一个实根时，实数a的取值范围为（，1）2016年11月21日