1、2015-2016学年广东省惠州市惠东县荣超中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x0，集合B=x|0x1，则AB=( )Ax|x0Bx|x1Cx|0x1或x1D2在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为( )ABCiDi3下列有关命题的说法错误的是( )A命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+
2、104已知等差数列an中，a1+a5=6，则a1+a2+a3+a4+a5=( )A10B5C30D155若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=( )A1BC2D6f（x）=lnx+x23x的极大值点是( )AB1C2D37执行如图所示的程序框，输出的T=( )A17B29C44D528下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x=对称的是( )Ay=sin（2x）By=sin（2x）Cy=sin（2x+）Dy=sin（+）9已知函数f（x）是定义在区间0，+）上的增函数，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是( )A（，）B，）C（，）D，）10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
3、的体积是( )A64B72C80D11211函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为( )ABCD12设函数f（x）=loga（xa+2）在区间（1，+）上恒为正值，则实数a的取值范围是( )A（1，2B（1，2）C（0，1）（1，2）D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13函数y=的定义域是_14若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为_15已知=（1，2），=（x，4）且=10，则|=_16若数列an满足a1=2，an+1=（nN*），则该数列的前2015项的乘积a1a2a3a2015=_三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分解答应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求角A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c18在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
5、A在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率19如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2（1）求证：AC平面VOD；（2）求三棱锥CABV的体积20已知椭圆C：+=1（ab0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围21已知函数g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+axlnx（a0），g（x）在x=1处的切线方程为y=2x（1）求b，c的值；（2）设h（x）=f（x）g（x），是否存在实数a
6、，使得当x（0，e时，函数h（x）的最小值为3，若存在，求出所有满足条件的实数a；若不存在，说明理由请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证： ；（2）若AC=3，求APAD的值选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为：sin（）=10，若点P为曲线C：（为参数）上的动点，其中参数0，2（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）求
7、点P到直线l距离的最大值2015-2016学年广东省惠州市惠东县荣超中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2x0，集合B=x|0x1，则AB=( )Ax|x0Bx|x1Cx|0x1或x1D【考点】并集及其运算 【专题】计算题【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可【解答】解：由A中的不等式变形得：log2x0=log21，即x1，A=x|x1，B=x|0x1，AB=x|x0故选A【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2在复
8、平面内，复数z=的共轭复数的虚部为( )ABCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数z，求出其共轭复数，则答案可求【解答】解：z=，复数z=的共轭复数的虚部为故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3下列有关命题的说法错误的是( )A命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑
9、【分析】直接写出命题的逆否命题判断A；求解一元二次方程判断B；由复合命题的真假判断方法判断C；写出特称命题的否定判断D【解答】解：命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x210”，A正确；由x23x+2=0，解得：x=1或x=2，“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，B正确；当p、q一真一假时，命题pq为假命题，C错误；对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10，正确故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆否命题、命题的否定的写法、考查充分必要条件的判定方法，是基础题4已知等差数列an中，a1+a5=6，则a1+a2+a3+a4+
10、a5=( )A10B5C30D15【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】根据题意和等差数列的性质求出a3的值，代入所求的式子化简求值即可【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a5=a2+a4=2a3=6，则a3=3，a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，故选：D【点评】本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于中档题5若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=( )A1BC2D【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，抛物线y
11、=ax2的焦点坐标为（0，1），=1，a=故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质属基础题6f（x）=lnx+x23x的极大值点是( )AB1C2D3【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；导数的综合应用【分析】求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域，由极值的定义，即可得到【解答】解：f（x）=lnx+x23x的导数f（x）=+2x3（x0）=，令f（x）0得x1或0x，令f（x）0得x1则f（x）在x=处导数左正右负，取得极大值，故选A【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，注意函数的定义域，属于基础题7执行如图所示的程序框，
12、输出的T=( )A17B29C44D52【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当S=12，T=29时满足条件T2S，退出循环，输出T的值为29【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=3，n=1，T=2不满足条件T2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T2S，S=12，n=4，T=29满足条件T2S，退出循环，输出T的值为29故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基础题8下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x=对称
13、的是( )Ay=sin（2x）By=sin（2x）Cy=sin（2x+）Dy=sin（+）【考点】正弦函数的对称性 【专题】计算题【分析】将x=代入各个关系式，看看能否取到最值即可【解答】解：y=f（x）的最小正周期为，可排除D；其图象关于直线x=对称，A中，f（）=sin=1，故A不满足；对于B，f（）=sin（）=sin=1，满足题意；对于C，f（）=sin（+）=sin=1，故C不满足；故选B【点评】本题考查正弦函数的对称性，代入验证是解决的捷径，属于中档题9已知函数f（x）是定义在区间0，+）上的增函数，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是( )A（，）B，）C（，）D，）【考点】
14、函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的单调性的性质可得 02x1，由此求得x的取值范围【解答】解：函数f（x）是定义在区间0，+）上的增函数，则满足f（2x1）f（），02x1，解得 x，故选D【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A64B72C80D112【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64
15、，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3体积，故该几何体的体积是64+8=72故选B【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题11函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=，得到f（）0，排除C【解答】解：f（x）=（x+）cos（x）=（x）cosx=f（x），函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=时，f（）=（）cos=0，故排除C，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用
16、函数的奇偶性，函数值，属于基础题12设函数f（x）=loga（xa+2）在区间（1，+）上恒为正值，则实数a的取值范围是( )A（1，2B（1，2）C（0，1）（1，2）D【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】函数的性质及应用【分析】由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，可得a1，且1a+21，由此求得a的范围【解答】解：由题意可得a1，且1a+21，求得1a2，故选：A【点评】本题主要对数函数的定义域、单调性和特殊点，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13函数y=的定义域是（，1【考点】函数的定义域及其求法 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应
17、用【分析】要使函数有意义，则需，运用对数函数的单调性及异常不等式的解法即可得到定义域【解答】解：要使函数有意义，则需即，即有，解得，则定义域为（，1故答案为：（，1【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题和易错题14若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C，直线y=2
18、x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=23+1=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键15已知=（1，2），=（x，4）且=10，则|=【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用【分析】利用向量的数量积曲线x，然后求解向量的模【解答】解：=（1，2），=（x，4）且=10，可得x+8=10解得x=2，=（1，2）|=故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力16若数列an满足a1=2，an+1=（nN*），则该数列的前2015项的乘积a1a2a3a2
19、015=3【考点】数列递推式 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】先由递推关系式，分析得到an是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论【解答】解：由递推关系式，得an+2=，则an+4=anan是以4为周期的一个周期数列由计算，得a1=2，a2=3，a3=，a4=，a5=2，a1a2a3a4=1，a1a2a2010a2011a2015=3故答案为：3【点评】本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题能力，确定an是以4为周期的一个周期数列是关键三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c
20、=asinCccosA（1）求角A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【考点】正弦定理；余弦定理的应用 【专题】计算题【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作，联立即可求出b与c的值【解答】解：（1）由正弦定理=化简已知的等式得：sinC=sin
21、AsinCsinCcosA，C为三角形的内角，sinC0，sinAcosA=1，整理得：2sin（A）=1，即sin（A）=，A=或A=，解得：A=或A=（舍去），则A=；（2）a=2，sinA=，cosA=，ABC的面积为，bcsinA=bc=，即bc=4；由余弦定理a2=b2+c22bccosA得：4=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）212，整理得：b+c=4，联立解得：b=c=2【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与
22、表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】（）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数频率得
23、出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数（）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分（）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率【解答】解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有100.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3人；（）该考场考生“数学与逻辑”科目
24、的平均分为：1（400.2）+2（400.1）+3（400.375）+4（400.25）+5（400.075）=2.9；（）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：=甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁，一共有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布
25、直方图、平均数及古典概型等内容19如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2（1）求证：AC平面VOD；（2）求三棱锥CABV的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由已知得VOAB，连接OC，得VOAVOC，从而VOOC，由此能证明AC平面DOV（2）VO是棱锥VABC的高，由此能求出棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：VA=VB，O为AB的中点，VOAB，连接OC，在VOA和VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，VOAVOC，VOA=VOC=9
26、0，VOOC，ABOC=O，AB平面ABC，OC平面ABC，VO平面ABC，AC平面ABC，ACVO，又VA=VC，D是AC的中点，ACVD，VO平面VOD，VD平面VOD，VOVD=V，AC平面DOV（2）解：由（1）知VO是棱锥VABC的高，且VO=又点C是弧的中点，COAB，且CO=1，AB=2，三角形ABC的面积SABC=，棱锥VABC的体积为VVABC=，故棱锥CABV的体积为【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养20已知椭圆C：+=1（ab0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M
27、，N（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得，然后求解，代入即可；（2）由题干“过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点设直线l的方程为y=k（x3），由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0，设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），然后利用根与系数的关系，代换出=，注意：k的范围【解答】（1）；（2）（2，3解：（1）由题意得，解得，椭圆C的方程为（2）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x3），由得（1+2k2
28、）x212k2x+18k26=0直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，=144k44（1+2k2）（18k26）=24（1k2）0，解得1k1设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，y1=k（x13），y2=k（x23）=（1+k2）x1x23（x1+x2）+9=1k1，的范围为（2，3【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用21已知函数g（x）=bx2+cx+1，f（x）=x2+axlnx（a0），g（x）在x=1处的切线方程为y=2x（1）求b，c的值；（2）设h（x）=f（x）g（x），是否存在实数a，使得当x
29、（0，e时，函数h（x）的最小值为3，若存在，求出所有满足条件的实数a；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；（2）求出h（x）的导数，讨论当a0时，当0a时，当a，通过单调性判断函数的最值情况，即可判断是否存在【解答】解：（1）g（x）=bx2+cx+1的导数为g（x）=2bx+c，g（x）在x=1处的切线斜率为2b+c，由g（x）在x=1处的切线为y=2x，则2b+c=2，b+c+1
30、=2，解得b=1，c=0；（2）h（x）=f（x）g（x）=x2+axlnx+1（x2+1）=axlnx，假设存在实数a，使h（x）=axlnx，x（0，e，h有最小值3，h（x）=a，当a0时，h（x）0，h（x）在（0，e上单调递减，h（x）min=h（e）=ae1=3，解得a=（舍去），当a0时，h（x）=a=，（i）当0a时，e，h（x）0在（0，e上恒成立，所以（x）在（0，e上单调递减，h（x）min=h（e）=ae1=3，解得a=（舍去），（ii）当a时，0e，当0x时，h（x）0，所以h（x）在（0，）上递减，当xe时，h（x）0，h（x）在（，e）上递增，所以，h（x）min
31、=h（）=1+lna=3，所以a=e2满足条件，综上，存在a=e2，使当x（0，e时，函数h（x）的最小值为3【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定 【专题】计算题；证明题【分析】（1）先由角相等CPD=ABC，D=D，证得三角形相似，再结合线段相等
32、即得所证比例式；（2）由于ACD=APC，CAP=CAP，从而得出两个三角形相似：“APCACD”结合相似三角形的对应边成比例即得APAD的值【解答】解：（1）CPD=ABC，D=D，DPCDBA，又AB=AC，（2）ACD=APC，CAP=CAP，APCACD，AC2=APAD=9【点评】本小题属于基础题此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为：sin（）=10，若点P为曲线C：（为参数）上的动
33、点，其中参数0，2（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）求点P到直线l距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【专题】计算题；转化思想；直线与圆；坐标系和参数方程【分析】（1）利用两角差的正弦公式，将极坐标方程展开，进而可得直线的一般方程；利用平方法消去参数，可得曲线C的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，加上半径，可得答案【解答】解：（1）因为sin（）=10，所以sincos=10，所以直线l的直角坐标方程为xy+10=0曲线C：且参数0，2消去参数可知曲线C的普通方程为x2+（y2）2=4（2）由（1）点P的轨迹方程为x2+（y2）2=4，圆心为（0，2），半径为2则圆心到直线的距离d=4，所以点P到直线l距离的最大值4+2【点评】本题考查的知识点是简单曲线方程的极坐标方程，参数方程化为普通方程，直线圆的位置关系