1、2014-2015学年重庆市铜梁中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设an是首项a1=1，公差为3的等差数列，如果an=2005，则序号n=（）A 667B 668C 669D 6702在ABC中，已知a=8，B=60，C=75，则b等于（）A 4B C 4D 3在等差数列an中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A 30B 45C 60D 1204在ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A 30或60B 45或60C 120或60D 30或1505等差数列an的前
2、n项和为Sn，若S1=2，S2=10，则S3等于（）A 12B 18C 24D 426已知等比数列an的公比是正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A 1B C 2D 7若数列an是等差数列，首项a2=37，a5=28，则Sn取最大值时，n=（）A 13B 14C 15D 14或158在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（）A mB mC mD m9设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则ABC的形状是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 锐角三角形10数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+
3、1=2Sn，（nN* ），则a6=（）A 35B 234+1C 234D 34+111在ABC中，sinA；sinB：sinC=2：3：4，则cosA：cosB：cosC=（）A 2：3：4B 14：11：（4）C 4：3：2D 7：11：（2）12已知数列an满足a1=a，a2=b，an+2=an+1an（nN*），Sn是an的前n项的和，则a2004+S2004=（）A a+bB abC a+bD ab二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60则b=14已知数列an的前n项和为Sn=n2+2n，则数列
4、an的通项公式an=15在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列的前13项之和为16设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，已知b=3，c=3，B=45，求A，C和a18等比数列an中，已知a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn19在锐角ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=
5、2csinA（）确定角C的大小；（）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值20已知数列an满足a1=2，an+1=3an+2（nN*）（1）求证：数列an+1是等比数列；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn21如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？22已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，（1）证明数列lg（1+an）是等比数列；（
6、2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an的通项；（3）记，求数列bn的前n项Sn，并证明2014-2015学年重庆市铜梁中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设an是首项a1=1，公差为3的等差数列，如果an=2005，则序号n=（）A 667B 668C 669D 670考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等差数列的通项公式可得n的方程，解方程可得解答：解：由题意和等差数列的通项公式可得：an=1+3（n1）=200
7、5，解得n=669，故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题2在ABC中，已知a=8，B=60，C=75，则b等于（）A 4B C 4D 考点：正弦定理专题：解三角形分析：先求得A，进而利用正弦定理求得b的值解答：解：A=180BC=45，由正弦定理知=，b=4，故选A点评：本题主要考查了正弦定理的运用考查了学生对基础公式的熟练应用3在等差数列an中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A 30B 45C 60D 120考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的性质进行求解即可解答：解：在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+a
8、q，a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=415=60故选：C点评：本题主要考查等差数列的性质，以及利用等差数列的性质进行计算，要求熟练掌握等差数列的性质：在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq4在ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A 30或60B 45或60C 120或60D 30或150考点：正弦定理的应用专题：计算题分析：结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A解答：解：b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinBsinB0sinA=A=30或150故选D点评：本题 主要
9、考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题5等差数列an的前n项和为Sn，若S1=2，S2=10，则S3等于（）A 12B 18C 24D 42考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列an的性质：S1，S2S1，S3S2成等差数列，即可得出解答：解：由等差数列an的性质可得：S1，S2S1，S3S2成等差数列，2（102）=2+S310，解得S3=24故选C点评：熟练掌握等差数列an的性质：S1，S2S1，S3S2成等差数列，是解题的关键6已知等比数列an的公比是正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A 1B C 2D 考点
10、：等比数列的性质；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由已知及等比数列的性质可得，a3a7=a4a6，求出公比q=2，然后结合a2=2，可求a1，解答：解：a3a7=4，由等比数列的性质可得，a3a7=a4a6a6=4a4=4q0q=2a2=2，则a1=1故选A点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题7若数列an是等差数列，首项a2=37，a5=28，则Sn取最大值时，n=（）A 13B 14C 15D 14或15考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出Sn取最大值时n的值解答：解：等差数
11、列an中，a2=37，a5=28，3d=a5a2=2837=9，d=3；a1=a2d=37（3）=40，Sn=na1+d=40n（n2n）=n2+n，当n=14时，Sn取得最大值故选：B点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目8在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（）A mB mC mD m考点：解三角形的实际应用专题：计算题；解三角形分析：由tan30=得到BE与塔高x间的关系，由tan60=求出BE值，从而得到塔高x的值解答：解：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为 x，且ABEC为矩形，由题意得 tan30=，BE=（2
12、00x）tan60=，BE=，=（200x），x=（m），故选A点评：本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE值是解题的关键，属于中档题9设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则ABC的形状是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 锐角三角形考点：三角形的形状判断专题：计算题分析：要判断ABC的形状，根据题意，可利用正弦定理=2R将a=（b+c）cosC中的边转化为相应角的正弦，然后化简整理即可解答：解：根据正弦定理理=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，a=（b+c）cosC，sinA=（sin
13、B+sinC）cosc，又A+B+C=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCcosC，化简得 cosB=cosC 又 B，C（0，），B=C，即ABC为等腰三角形故选A点评：本题考查三角形的形状判断，正弦定理的灵活应用是解决问题的关键，属于中档题10数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn，（nN* ），则a6=（）A 35B 234+1C 234D 34+1考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：通过an+1=2Sn与an+2=2Sn+1作差可知=3，进而数列an+1是以a2为首项、3为公比的等比数列，计算即得结论解答
14、：解：an+1=2Sn，an+2=2Sn+1，两式相减得：an+2an+1=2an+1，即=3，又a1=1，an+1=2Sn，a2=2S1=2a1=2，数列an+1是以2为首项、3为公比的等比数列，a6=2351=234，故选：C点评：本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题11在ABC中，sinA；sinB：sinC=2：3：4，则cosA：cosB：cosC=（）A 2：3：4B 14：11：（4）C 4：3：2D 7：11：（2）考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：利用正弦定理知：a：b：c=2：3：4，不设a=2k b=3k c=4k，由余弦定理可求得cosA，co
15、sB，cosC的值，即可得解cosA：cosB：cosC的值解答：解：由sinA；sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理知：a：b：c=2：3：4，设a=2k b=3k c=4k，由余弦定理可得：cosA=，同理可得：cosB=，cosC=，所以cosA：cosB：cosC=14：11：（4），故选：B点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基础题12已知数列an满足a1=a，a2=b，an+2=an+1an（nN*），Sn是an的前n项的和，则a2004+S2004=（）A a+bB abC a+bD ab考点：数列的求和专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过求出前几
16、项找出规律：数列an是以6为周期的周期数列，进而可得结论解答：解：a1=a，a2=b，an+2=an+1an，a3=ba，a4=（ba）b=a，a5=a（ba）=b，a6=b（a）=ab，a7=ab（b）=a，a8=a（ab）=b，数列an是以6为周期的周期数列，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=a+b+（ba）+（a）+（b）+（ab）=0，2004=3346，S2004=3360=0，a2004=a6=ab，a2004+S2004=0+ab=ab，故选：B点评：本题考查数列的周期，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，角A，B，
17、C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60则b=考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值解答：解：a=2，c=3，B=60，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=4+96=7，则b=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14已知数列an的前n项和为Sn=n2+2n，则数列an的通项公式an=2n+1考点：数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：利用an+1=Sn+1Sn计算可得an=2n+1，验证当n=1时是否成立即可解答：解：Sn=n2+2n，Sn+1=
18、（n+1）2+2（n+1），an+1=Sn+1Sn=（n+1）2+2（n+1）（n2+2n）=2n+3，an=2n+1，又a1=S1=1+2=3满足上式，数列an的通项公式an=2n+1，故答案为：2n+1点评：本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题15在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列的前13项之和为26考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和专题：计算题分析：在等差数列中，利用“等差中项”的性质与等差数列的求和公式即可解决解答：解：根据题意得：a3+a5=2a4，a7+a10+a13=3a10，a4+a10=4，此数列的前13项
19、之和故答案为：26点评：本题考查等差数列的性质与求和，重点在于等差中项性质的灵活应用，属于基础题16设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为3考点：数列的求和专题：规律型分析：根据课本中推导等差数列前n项和的公式的方法倒序相加法，观察所求式子的特点，应先求f（x）+f（1x）的值解答：解：f（x）=f（x）+f（1x）=+=+=，即 f（5）+f（6）=，f（4）+f（5）=，f（3）+f（4）=，f（2）+f（3）=，f（1）+f（2）=，f（0）+f（1）=，所求的式子值为：=3故答案为：3点评：本题为规律性的题
20、目，要善于观察式子的特点，并且此题给出了明确的方法，从而降低了本题难度三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，已知b=3，c=3，B=45，求A，C和a考点：解三角形专题：解三角形分析：首先由正弦定理求得sinC=，得到角C的大小，然后由三角形内角和定理求得A，再由正弦定理求得a解答：解：在ABC中，b=3，c=3，B=45，由正弦定理可得：，即，sinC=，0C135，C=60或C=120当C=60时，A=75，则由，得，a=；当C=120时，A=15，则由，得，a=点评：本题考查正弦定理在解三角形中的应用，利用正弦定理求解已知两边及一
21、边的对角的问题时，要注意解的讨论，关键是注意大边对大角，是中档题18等比数列an中，已知a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；转化思想分析：（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可（）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列bn是等差数列求出再代入求出通项公式及前n项和Sn解答：解：（I）设an的公比为q由已知得16=2q3，解得q=2=2n（）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设bn的公差为d，则有
22、解得从而bn=16+12（n1）=12n28所以数列bn的前n项和点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想19在锐角ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA（）确定角C的大小；（）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（I）由a=2csinA利用正弦定理可得sinA，sinC=，由于A为锐角，即可得出（2）由c=，且ABC的面积为，可得=，ab，由余弦定理可得：c2=化简即可得出解答：解：（I）a=2csinA由正弦定理可得sinA，又sinA0，sinC=，A为锐角，（2）c=
23、，且ABC的面积为，=，化为ab=6，由余弦定理可得：=（a+b）23ab，a+b=5点评：本题考查了正弦定理与余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知数列an满足a1=2，an+1=3an+2（nN*）（1）求证：数列an+1是等比数列；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过对an+1=3an+2（nN*）变形可知an+1+1=3（an+1），进而即得结论；（2）通过（1）可知bn=n3nn，进而Tn=131+232+333+n3n，利用错位相减法计算可知Qn=131+232+
24、333+n3n=（）3n+1+，进而计算可得结论解答：（1）证明：an+1=3an+2（nN*），an+1+1=3（an+1），又a1+1=2+1=3，数列an+1是以首项、公比均为3的等比数列；（2）解：由（1）可知：an+1=3n，bn=nan=n（3n1）=n3nn，Tn=131+232+333+n3n（1+2+3+n）=131+232+333+n3n，记Qn=131+232+333+n3n，则Qn=130+231+332+（n1）3n2+n3n1，两式相减得：Qn=30+31+32+3n2+3n1n3n=n3n=（n）3n，Qn=（n）3n=（）3n+1+，Tn=131+232+333
25、+n3n=（）3n+1+点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题21如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？考点：解三角形的实际应用专题：综合题分析：先根据内角和求得DAB和，DBA及进而求得ADB，在ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间解答：解：由题意知AB=10（3+）海里，BC=40 海里DBA=9060=30，D
26、AB=9045=45，ADB=180（45+30）=105，在ADB中，有正弦定理得 =DB=20 又在DBC中，DBC=60DC2=DB2+BC22DBBCcos6001200+4800220=3600DC=60救援船到达D点需要的时间为=2（小时）答：该救援船到达D点需要2小时点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用22已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1
27、，2，3，（1）证明数列lg（1+an）是等比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an的通项；（3）记，求数列bn的前n项Sn，并证明考点：数列的求和；数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过将点（an，an+1）代入函数f（x）=x2+2x方程，两边加1、结合完全平方公式可得an+1+1=，两边取对数即可；（2）通过（1）及a1=2即lg（1+a1）=lg3可得an=1，利用同底指数乘法的性质计算即可；（3）通过对an+1=an（an+2）取倒数、裂项，整理可得=，进而有=2（），并项相加即可；通过Tn=，计算易知=，比较即得结论解答：（1）证明：
28、点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，an+1=+2an，an+1+1=+2an+1=，a1=2，an+11，两边取对数得 lg（1+an+1）=2lg（1+an），即=2，数列lg（1+an）是公比为2的等比数列；（2）解：a1=2，lg（1+a1）=lg3，lg（1+an）=2n1lg3=lg，1+an=，an=1；Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）=；（3）解：an+1=+2an=an（an+2），=（），=，=+（）=2（），Sn=b1+b2+bn=2（+）=2（），an=1，a1=2，an+1=1，=，=，Sn=2（）=2（）=12，数列bn的前n项Sn=12；证明：Tn=，=，又Sn=12，Sn+2=1，点评：本题是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，熟练掌握利用取对数法把已知转化为等比数列问题求解、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”法等是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题
